On Differential Cohomology and Geometric Hodge-filtered K-theory

Abstract

Oppgaven har to hovedmål.

Først presenterer vi en oppsumering av fagfeltet differensiell kohomologi, med hovedfokus på eksisterende tilnærminger og viktige resultater. Vi starter med differensialkarakterene til Cheeger og Simons, som kan generaliseres til differensialfunksjonskomplekser etter Hopkins-Singer. Vi presenterer tilnærmingen til Bunke, Nikolaus og Völkl gjennom spektralknipper, og vi dekomponerer uendeligkategorien av differensielle kohomologiteorier gjennom kjente metoder for stabile uendeligkategorier som utnytter spesifikke underkategoristrukturer. Vi studerer aksiomene til glatte utvidelser og unikhetsteoremet for disse, som bevist av Bunke og Schick, før vi undersøker hvordan disse respekterer homotopiinvarians og landwebereksakte formelle gruppelover. Videre betrakter vi eksplisitte beskrivelser av spesifikke differensielle kohomologiteorier, slik som glatt delignekohomologi for ordinær differensiell kohomologi. Etter vi studerer en geometrisk suspensjonskonstruksjon, forklarer vi kort hvordan arbeidet til Simons og Sullivan på strukturerte bunter brukes til å definere differensiell K-theori.

Deretter studerer vi en analog til differensielle kohomologiteorier for komplekse mangfoldigheter, nemlig hodgefiltrerte kohomologiteorier, hvor hovedfokuset etterhvert flyttes til å forstå (geometrisk) hodgefiltrert K-teori. Motivert av delignekohomologi og arbeidet til Hopkins og Quick, studerer vi aksiomene for hodgefiltrerte utvidelser som presentert av Haus og Quick. Vi studerer forskjeller mellom differensiell- og hodgefiltrert kohomologiteori, og vi diskuterer en formodning om at hodgefiltrerte utvidelser respekterer landweberteorier på samme måte som differensiell kohomologi, tross subtile forskjeller mellom de to. Fokuset rettes mot hodgefiltrert K-teori, og etter en diskusjon av Karoubis ”multipliativ K-teori”, beviser vi at multiplikativ K-teori er en geometrisk modell for hodgefiltrert K-teori, basert på aksiomene til Haus og Quick.

The thesis has two main goals.

First, we present an overview of differential cohomology, focusing on existing approaches to the topic and important results. This starts with the differential characters of Cheeger-Simons, which are generalized by the differential function complexes of Hopkins-Singer. The approach by Bunke-Nikolaus-Völkl using spectral sheaves is presented, and we decompose the infinity-category of differential cohomology theories by using known results on stable infinity-categories with certain subcategory structures. We study the axioms for smooth extensions and a corresponding uniqueness theorem proven by Bunke-Schick before we investigate how differential cohomology theories respect homotopy invariance and Landweber exact formal group laws. Furthermore, we investigate explicit descriptions of differential cohomology theories, such as smooth Deligne cohomology for ordinary differential cohomology. After developing a geometric suspension construction, we briefly explain how the structured bundles of Simons-Sullivan define differential K-theory.

Secondly, we study an analog of differential cohomology for complex manifolds, namely Hodge-filtered cohomology theories, where we work towards understanding (geometric) Hodge-filtered K-theory. We study Deligne cohomology and the work of Hopkins-Quick, and see how they fit into the axioms of Hodge-filtered extensions by Haus-Quick. We investigate differences between differential- and Hodge-filtered cohomology, most notably by discussing a conjecture that Hodge-filtered extensions respect Landweber-theories similarly to differential cohomology, despite differences between the two. After a discussion on multiplicative K-theory in the sense of Karoub, we prove that multiplicative K-theory is a geometric model of Hodge-filtered K-theory in the sense of Haus-Quick.