On Differential Cohomology and Geometric Hodge-filtered K-theory
Master thesis
Permanent lenke
https://hdl.handle.net/11250/3093937Utgivelsesdato
2023Metadata
Vis full innførselSamlinger
Sammendrag
Oppgaven har to hovedmål.
Først presenterer vi en oppsumering av fagfeltet differensiell kohomologi, med hovedfokus på eksisterende tilnærminger og viktige resultater. Vi starter med differensialkarakterene til Cheeger ogSimons, som kan generaliseres til differensialfunksjonskomplekser etter Hopkins-Singer. Vi presenterer tilnærmingen til Bunke, Nikolaus og Völkl gjennom spektralknipper, og vi dekomponerer uendeligkategorien av differensielle kohomologiteorier gjennomkjente metoder for stabile uendeligkategorier som utnytter spesifikke underkategoristrukturer.Vi studerer aksiomene til glatte utvidelser og unikhetsteoremet for disse, som bevist av Bunke ogSchick, før vi undersøker hvordan disse respekterer homotopiinvarians og landwebereksakte formelle gruppelover. Videre betrakter vi eksplisitte beskrivelser av spesifikke differensiellekohomologiteorier, slik som glatt delignekohomologi for ordinær differensiell kohomologi. Ettervi studerer en geometrisk suspensjonskonstruksjon, forklarer vi kort hvordan arbeidet til Simonsog Sullivan på strukturerte bunter brukes til å definere differensiell K-theori.
Deretter studerer vi en analog til differensielle kohomologiteorier for komplekse mangfoldigheter,nemlig hodgefiltrerte kohomologiteorier, hvor hovedfokuset etterhvert flyttes til å forstå (geometrisk) hodgefiltrert K-teori. Motivert av delignekohomologi og arbeidet til Hopkins og Quick, studerer vi aksiomene for hodgefiltrerte utvidelser som presentert av Haus og Quick. Vi studerer forskjeller mellom differensiell- og hodgefiltrert kohomologiteori,og vi diskuterer en formodning om at hodgefiltrerte utvidelser respekterer landweberteorier påsamme måte som differensiell kohomologi, tross subtile forskjeller mellom de to. Fokuset rettesmot hodgefiltrert K-teori, og etter en diskusjon av Karoubis ”multipliativ K-teori”, beviser viat multiplikativ K-teori er en geometrisk modell for hodgefiltrert K-teori, basert på aksiomenetil Haus og Quick. The thesis has two main goals.
First, we present an overview of differential cohomology, focusing on existing approaches to the topic and important results. This starts with the differential characters of Cheeger-Simons, which are generalized by the differential function complexes of Hopkins-Singer. The approach by Bunke-Nikolaus-Völkl using spectral sheaves is presented, and we decompose the infinity-category of differential cohomology theories by using known results on stable infinity-categories with certain subcategory structures. We study the axioms for smooth extensions and a corresponding uniqueness theorem proven by Bunke-Schick before we investigate how differential cohomology theories respect homotopy invariance and Landweber exact formal group laws.Furthermore, we investigate explicit descriptions of differential cohomology theories, such as smooth Deligne cohomology for ordinary differential cohomology.After developing a geometric suspension construction, we briefly explain how the structured bundles of Simons-Sullivan define differential K-theory.
Secondly, we study an analog of differential cohomology for complex manifolds, namely Hodge-filtered cohomology theories, where we work towards understanding (geometric) Hodge-filtered K-theory.We study Deligne cohomology and the work of Hopkins-Quick, and see how they fit into the axioms of Hodge-filtered extensions by Haus-Quick.We investigate differences between differential- and Hodge-filtered cohomology, most notably by discussing a conjecture that Hodge-filtered extensions respect Landweber-theories similarly to differential cohomology, despite differences between the two.After a discussion on multiplicative K-theory in the sense of Karoub, we prove that multiplicative K-theory is a geometric model of Hodge-filtered K-theory in the sense of Haus-Quick.