Applications of physics-informed neural networks for uncertainty quantification and parameter estimation in poroelastic problems

Abstract

Denne masteroppgaven utforsker anvendeligheten til Fysikk informerte Neurale Nettverk (PINNs) for å kvantifisere usikkerhet og parameterestimere i typiske problemstillinger knyttet til poroelastisitet. Hovedfokuset til oppgaven er å evaluere nøyaktigheten til predikeringen av modellen, samt beregningsmessig effektivitet. Disse prestasjonsmålene har blitt brukt i en sammenligning med tradisjonelle numeriske metoder og kommersielle elementmetode (FEM) program. Det overordnede formålet med oppgaven er å vurdere potensielle fordeler med bruk av PINNs for flerdimensjonale transiente analyser, samt brukbarheten i vanlige beregninger og inverterte problemstillinger.

Oppgaven presenterer resultater fra bruk av PINNs for å løse flere klassiske problemer knyttet til poroelastisitet. De løste problemene varierer fra enkle en- og todimensjonale konsolideringsproblemer hvor totalspenningene er antatt å være konstante til en mer avansert todimensjonal problemstilling hvor vannstrømning og deformasjon av løsmassene påvirker hverandre. Det koblede problemet ble løst med en sekvensiell PINN modell, hvor de partielle differensialligningene som beskriver vannstrømningen og likevekstligningen for løsmassene ble løst iterativt. Resultatene fra modellenes prediksjoner viser at PINNs er kapabel til å lære alt fra en- og todimensjonal diffusjon, til likevektsligninger, til koblede likningssett med transiente partielle differensialligninger, helt uten data.

Nøyaktigheten til beregningene med bruk av PINNs ble vist å være litt lavere enn beregningene til kommersielle FEM program, men generelt er resultatene lovende. PINN modellen klarer å lære de grunnleggende fysiske fenomenene som beskriver de ulike problemene, noe som gjør det til et verdifullt verktøy for simulering av problemer med usikre parametre. Tidsbruken som går med for å gjøre en prediksjon med PINNs etter at den er ferdig trent er betydelig lavere enn tilsvarende beregning med tradisjonelle numeriske metoder. Dette gir betydelige tidsbesparelser for statistiske analyser av probabilistiske problemer, noe som resultatene og diskusjonen viser.

Konklusjonen er at resultatet av denne masteroppgaven viser potensialet til PINNs som beregningsverktøy for beregningskrevende simulering av probabilistiske poroelastiske problemer. Sett bort i fra små forskjeller i nøyaktighet sammenlignet med kommersielle FEM program, viser resultatene at PINNs nøyaktighet vil være godt nok for bruk i mange praktiske situsjoner. Den eksepsjonelle beregningseffektiviteten, kombinert med egenskaper som kan takle flerdimensjonale optimaliseringsproblemer, tilsier at PINNs er en lovende metode for usikkerhetskvantifisering, parameteroptimalisering og andre simuleringsoppgaver, innen poroelastiske og andre geotekniske problemstillinger.

This master thesis investigates the application of Physics Informed Neural Networks (PINNs) for uncertainty quantification in poroelastic problems. The main research question focuses on evaluating the accuracy and computational efficiency of PINNs, specifically in comparison to traditional numerical methods and commercial Finite Element Method (\ac{FEM}) programs. The overarching objective is to assess the potential benefits of PINNs for uncertainty quantification and statistical analysis of high-dimensional transient problems and their suitability for solving forward and inverse problems.

The thesis presents the results obtained from testing PINNs on several poroelastic problems. The investigated problems include simple 1D and 2D uncoupled consolidation problems where the total stresses are assumed to be constant, as well as a more advanced coupled 2D problem. The coupled 2D consolidation problem was solved using a sequential model split, where the partial differential equations (PDEs) describing the flow problem of the fluid and the PDEs describing the equilibrium equations of the soil were solved iteratively. The PINN model demonstrates its capability to accurately capture the physical behavior of all three problems. Notably, the PINN model showcases its ability to learn and represent advanced poroelastic phenomena even in the absence of data.

While the accuracy of forward computations using PINNs is found to be slightly lower than that of commercial FEM programs, the overall results are promising. The PINN model successfully captures the essential physical behavior of the poroelastic problems tested, making it a valuable tool for simulations. The computational efficiency of PINNs significantly outperforms traditional numerical methods once the model is trained, providing substantial time savings.

In conclusion, this study establishes the potential of PINNs as a computational tool for expensive simulations in poroelastic problems. Despite minor differences in accuracy compared to commercial FEM programs, PINNs offer a sufficient level of accuracy for many practical applications. The exceptional computational efficiency of PINNs, combined with their ability to handle high-dimensional problems, positions them as a promising approach for uncertainty quantification, parameter estimation, and similar simulation tasks of poroelastic phenomena.