Solitary waves in equations with fully mixed nonlocal and nonlinear terms

Abstract

Vi studerer eksistens av solitære bølger i to familier av pseudodifferensialligninger med ikkelokale ikkelineariteter. Ikkelineariteten er enten kubisk: $\partial_{t}u + \partial_{x}(Lu - uNu^{2})=0$ eller kvadratisk: $\partial_{t}u + \partial_{x}(Lu - T(u,u))=0$. Her er $L, N$ lineære Fourier-multiplikatorer, mens $T$ er en bilineær Fourier-multiplikator: $\widehat{T(u,u)}(\xi) =\int_{\R}p(\xi-\eta, \eta) \hat{u}(\xi-\eta)\hat{u}(\eta)\,d\eta$. Den dispersive operatoren $L$ har positiv orden, mens ordenen til $N, T$ (positiv eller negativ) er oppad begrenset av ordenen til $L$. Vi beviser at det finnes solitær-bølgeløsninger $u$ med små og store amplituder til disse ligningene ved hjelp av betinget minimering og konsentrasjons--kompakthetsprinsippet. Vi finner at løsningene er i $H^{\infty}(\mathbb{R})$ og har subkritisk bølgefart $c$. For små løsninger estimerer vi størrelsen til $|| u||_{L^{\infty}}$ og bølgefarten $c$.

We study the existence of solitary waves in two classes of pseudo-differential evolution equations with fully mixed nonlinear and nonlocal terms. The nonlinearity is either cubic: $\partial_{t}u + \partial_{x}(Lu - uNu^{2})=0$ or quadratic: $\partial_{t}u + \partial_{x}(Lu - T(u,u))=0$. Here, $L, N$ are linear Fourier multipliers, while $T$ is a bilinear Fourier multiplier: $\widehat{T(u,u)}(\xi) =\int_{\R}p(\xi-\eta, \eta) \hat{u}(\xi-\eta)\hat{u}(\eta)\,d\eta$. The dispersive operator $L$ is of positive order, while the orders of $N, T$ (positive or negative) are restricted above by the order of $L$. We prove that there exist solitary-wave solutions $u$ of small and large amplitude to these equations using constrained minimization and the concentration--compactness principle. We find that the solutions are in $H^{\infty}(\mathbb{R})$ and have subcritical wave speed $c$. For small solutions, we estimate the size of $\norm{u}_{L^{\infty}}$ and the wave speed $c$.