Hilberttransformpar og negativ brytning

Abstract

I løpet av de siste årene har det blitt mulig å lage medier som har permittivitet $epsilon_r=chi_e+1$ og permeabilitet $mu_r=chi_m+1$ med simultant negative realdeler. I slike medier vil man få negativ brytning og dette kan utnyttes til å lage en linse som i prinsippet kan få ubegrenset høy oppløsning for en frekvens. La $chi=u+iv$ stå for enten $chi_e$ eller $chi_m$. Jeg viser at oppløsningen til linsa er gitt ved $-ln{(|chi+2|/2)}/d$ forutsatt at tykkelsen $d$ på linsa er noe mindre enn en bølgelengde. Vi ser ut fra dette at oppløsningen er uendelig hvis $u=-2$ og $v=0$ og at vi, for å få høyest mulig oppløsning, ønsker å minimere $|chi+2|=sqrt{(u+2)^2+v^2}$. Kausalitet fører til at $chi$ er element i rommet $H^2$ av analytiske og kvadratisk integrerbare funksjoner i det øvre halvplan. Det følger av dette at $u$ og $v$ er hilberttransformpar. Videre vet vi at $chi$ er hermitsk og at $v$ er positiv for positive argumenter som reflekterer passitivitetsprinsippet for elektromagnetiske medier. Tilsammen setter dette grenser for hvor høy oppløsningen kan bli på et frekvensintervall. Nylig er det funnet en parametrisering av imaginærdelen til slike funksjoner på et frekvensintervall, gitt at realdelen er konstant på intervallet. Jeg identifiserer disse funksjonene som et element i en større klasse hermitske $H^2$-funksjoner hvor imaginærdelen kan parametriseres. Spesielt er det interessant å finne absolutte nedre grenser for den $L^infty$-normen til $|chi+2|$ på intervallet. Det viser seg at ved å sette realdelen lik $x^2/b^2-(a^2+b^2)/(2b^2)-2$ på intervallet kan man omtrent halvere denne nedre grensa i forhold til tilfellet hvor realdelen er konstant lik $-2$.