Codes in Algebras

Abstract

Vi viser, ved hjelp av teorien om automorfier til utvidede kvadratiske restkoder, at den utvidede binære Golay-koden er et ideal i gruppealgebraen til den symmetriske gruppen på $4$ elementer over $\mathbb{Z}_2$. Vi utnytter deretter den ekstra strukturen som gruppealgebraer kommer med til å få en dypere forståelse av egenskapene til denne koden. Til slutt bruker vi denne innsikten til å utforske hvordan nye koder kan konstrueres.

Using some theory about the automorphisms of extended quadratic residue codes, we show that the extended binary Golay code is an ideal in the group algebra of the symmetric group on $4$ elements over $\mathbb{Z}_2$. We then take advantage of the additional structure found in a group algebra to get a deeper understanding of the properties of this code. Finally we use this insight to explore how new codes may be constructed.