Towards a theory for fractional Mean Field Games in Hölder spaces

Abstract

I denne masteroppgaven studerer vi et Mean Field Game-system i hele rommet drevet av en fraksjonell Laplace-operator -(-∆)^(α/2) med orden α ∈ (1,2). Vi beviser eksistens og entydighet av klassiske løsninger til Hamilton-Jacobi-Bellman- og Fokker-Planck-ligningene, og diskuterer hvordan resultatene våre bidrar til å studere det koblede Mean Field Game-systemet. Til forskjell fra tidligere arbeid antar vi Hölderkontinuerlig initial- og randdata, og presenterer forbedrede romlige regularitetsestimater for løsningene våre. Bevisene benytter en kombinasjon av fikspunktargumenter på Duhamelavbildninger, estimater for den fraksjonelle varmekjernen, interpolasjon i Hölderrom og sammenligningsprinsipper.

In this master’s thesis, we study a Mean Field Game system in the whole space driven by a fractional Laplacian -(-∆)^(α/2) of order α ∈ (1,2). We prove existence and uniqueness of classical solutions to the Hamilton-Jacobi-Bellman and Fokker-Planck equations, and discuss how our results contribute to the study of the coupled Mean Field Game system. Unlike previous work, we assume Hölder continuous initial and source terms, and provide improved spatial regularity estimates for our solutions. The proofs use a combination of fixed point arguments on a Duhamel map, fractional heat kernel estimates, interpolation in Hölder spaces and comparison principles.