Numerics-informed neural networks and inverse problems with hyperbolic balance laws

Abstract

Vi introduserer numerikkbevisste nevrale nettverk (NINN), et rammeverk utviklet for å lære kildeledd i hyperbolske partielle differensialligninger. NINN kombinerer klassiske numeriske metoder med nevrale nettverk for å løse inverse problemer knyttet til disse ligningene. I dette arbeidet presenterer vi det generelle rammeverket sammen med et konvergensresultat som relaterer feilen i kildeapproksimasjonen til treningsfeilen. For å håndtere treningen utvikler vi to spesialiserte algoritmer tilpasset ulike bruksområder, og evaluerer ytelsen på et hyperbolsk system. Spesielt muliggjør sweeping-algoritmen bruk av NINN i scenarier der komplette målinger av løsningen ikke er tilgjengelige. Vi tester den foreslåtte metoden grundig på en rekke ulike problemer og sammenligner ytelsen under varierende mengder data. I tillegg er det utviklet et Python-bibliotek for differensierbar simulering av hyperbolske partielle differensialligninger i kombinasjon med denne avhandlingen. Vårt arbeid viser potensialet til NINN som et kraftig verktøy for å løse inverse problemer med hyperbolske partielle differensialligninger og legger grunnlaget for fremtidige fremskritt på dette feltet.

We introduce numerics-informed neural networks (NINN), a framework designed to learn source terms in hyperbolic partial differential equations. NINNs combine classic numerical schemes with neural networks to accurately solve inverse problems related to these equations. In this work, we present the general framework, along with a convergence result that relates the source approximation error to the training loss. To implement training, we develop two specialized algorithms tailored for different usecases, and evaluate their performance on a hyperbolic system. The sweeping algorithm, in particular, enables the use of NINNs in scenarios where complete solution measurements are unavailable. We extensively test the proposed method on a diverse set of problems, comparing its performance under varying data quantities. In combination with this thesis, a Python library for performing differentiable simulation of hyperbolic partial differential equations was developed. Our work showcases the potential of NINNs as a powerful tool for solving inverse problems with hyperbolic partial differential equations, paving the way for future advancements in this field.