Discrete Morse Theory and Simplicial Sets

Abstract

I denne oppgaven anvender vi konsepter og metoder fra teorien om simplisielle mengder til å studere diskret Morseteori. Vi fokuser på den diskrete flyt-kategorien introdusert av Vidit Nanda, og undersøker dens egeneskaper i tilfellet der den er definert fra en diskret Morsefunksjon på et regulært CW-kompleks. Vi konstruerer en algoritme for å effektivt beregne Hom-mengdene til den diskrete flyt-kategorien i dette tilfellet. Videre viser vi at i spesialtilfellet der den diskrete Morsefunksjonen er definert på et simplisialkompleks, så har hver Hom-mengde strukturen til den delvis ordnede mengden av fasetter tilhørende et regulært CW-kompleks. Til slutt viser vi at spektralfølgen tilhørende den doble nerven til den diskrete flyt-kategorien kollapser på side 2.

In this thesis, we use concepts and methods from the theory of simplicial sets to study discrete Morse theory. We focus on the discrete flow category introduced by Vidit Nanda, and investigate its properties in the case where it is defined from a discrete Morse function on a regular CW complex. We construct an algorithm to efficiently compute the Hom posets of the discrete flow category in this case. Furthermore, we show that in the special case where the discrete Morse function is defined on a simplicial complex, then each Hom poset has the structure of a face poset of a regular CW complex. Finally, we prove that the spectral sequence associated to the double nerve of the discrete flow category collapses on page 2.