Metaplectic Transformations for Gabor Frames and Equivalence Bimodules

Abstract

Målet med denne avhandlingen er å presentere og utforske en symplektisk tilnærming til gaboranalyse – gaboranalyse er et emne innen tid-frekvens-analyse som er nært knyttet både til informasjon- og kommunikasjonsteknologier og til teoretisk og anvendt fysikk. Teorien om gaborrammer over det todimensjonale tid-frekvens-planet er godt utviklet, men tilfellet med et vilkårlig antall dimensjoner har vist seg å være mer komplisert. Vi gjør rede for og videreutvikler et system for klassifisering av gitter i et vilkårlig antall dimensjoner; vi viser at strukturen til gaborrammer over et gitt gitter kun er avhengig av en mengde med symplektiske former bestemt av gitteret. Dette rammeverket bygger på den metaplektiske representasjonen, som relaterer gaborsystemer over gitter som bestemmer de samme symplektiske formene via unitære transformasjoner.

Det blir stadig mer tydelig at ekvivalens-bimoduler over ikkekommutative toruser utgjør et nyttig rammeverk for gaboranalyse. Vi løfter også dette klassifiseringssystemet til disse ekvivalens-bimodulene ved å konstruere isomorfier mellom ekvivalens-bimoduler assosiert med gitter som bestemmer de samme symplektiske formene. Dette gjør vi ved å utvide metaplektiske transformasjoner. I tillegg til dette utforsker vi hvordan moritaekvivalens mellom ikkekommutative toruser er relatert til dualiteten i gaboranalyse fra et nytt perspektiv. Dette fører oss til å betrakte konseptet delvis adjungerte gitter.

Utover dette inneholder avhandlingen en detaljert introduksjon til teorien om C*-algebraer, Hilbert C*-moduler og ekvivalens-bimodulene som inngår i gaboranalyse. Vi har forsøkt å bygge teorien på en systematisk måte som antar færrest mulig forkunnskaper.

The aim of this thesis is to present and explore a symplectic approach to Gabor analysis – Gabor analysis is a subject in time-frequency analysis with close ties to information and communication technologies as well as to theoretical and applied physics. Whereas the structure of Gabor frames over the two-dimensional time-frequency plane is well-understood, the higher-dimensional cases remain much more elusive. We present and develop a classification scheme for lattices in arbitrary dimensions; we show that the structure of Gabor frames over a given lattice is uniquely determined by a set of symplectic forms determined by the lattice. This framework is built on the metaplectic representation, which relates Gabor systems over lattices determining the same symplectic forms via unitary transformations.

It is becoming increasingly clear that equivalence bimodules over noncommutative tori provide a powerful framework for Gabor analysis. We also lift this classification scheme to the setting of such bimodules by constructing isomorphisms between equivalence bimodules associated to lattices which determine the same symplectic forms. We do this by extending metaplectic transformations. In addition to this, we explore how the notion of Morita equivalence of noncommutative tori relates to duality in Gabor analysis from a novel point of view. This leads us to consider the notion of partially adjoint lattices.

The thesis also contains a detailed introduction to the theory of C*-algebras, Hilbert C*-modules and the equivalence bimodules that feature in Gabor analysis. We have attempted to build the theory in a systematic manner while assuming minimal prerequisite knowledge.