Higher-order estimates of highest waves of the Whitham equation

Abstract

Basert på arbeid av Ehrnström, Mæhlen og Varholm, beviser vi eksistensen av grenseverdier ved origo for alle høyere ordens deriverte av en høyeste, spiss, reisende-bølge løsning av Whitham-likningen. For den andrederiverte og tredjederiverte finner vi de eksakte verdiene for grensene, og vi viser at den nøyaktige verdien av grensen til den n-te deriverte er som de ovenfornevnte forfatterne forventer så lenge verdien av et visst uttrykk er lik null for alle heltall k ∈ {2, ..., n−1}. Vi bekrefter at uttrykket er lik null for k = 2, og også for k ∈ {3, ..., 100} ved å bruke dataprogram, men uttrykkets kompleksitet har hindret oss fra å fullføre beregningen for en vilkårlig k. Vi forventer at videre arbeid vil føre til et analytisk svar på dette punktet.

Building on work by Ehrnström, Mæhlen and Varholm, we prove the existence of limits at the origin for all higher-order derivatives of a highest, cusped, travelling-wave solution of the Whitham equation. We prove the exact values of the limits for the second and third derivative, and show that the exact value of the limit for the n-th derivative is as conjectured in the above-mentioned work if a certain expression equals zero for all integers k ∈ {2, ..., n−1}. We confirm that the expression equals zero for k = 2, and also for k ∈ {3, ..., 100} using a computer-aided approach, however the complexity of the expression has prevented us from completing the calculation for the case of a general k. We expect further considerations to yield an analytic solution to this step.