Coordinate maps for Lie group integrators applied to mechanical systems

Abstract

Liegruppeintegratorer er numeriske metoder brukt til å løse differensiallikninger som utvikler seg på mangfoldigheter via Liegruppevirkninger. I denne masteroppgaven introduseres en type Liegruppeintegrator som kalles Runge-Kutta-Munthe-Kaas-metoder. Det er mulig å bruke ulike koordinatavbildninger og Liegrupper. Her vil vi vurdere tre forskjellige koordinatavbildninger, som kalles kanoniske koordinater av første og andre slag og Padé(1,1)-transformasjonen. Vi vil bruke disse koordinatavbildningene på Liegruppene SO(3), Sp(1), SE(3) og duale enhetskvaternioner. Denne oppgaven inkluderer numeriske eksperimenter på Eulers frie stivlegeme og på $N$ koplede pendler i tre dimensjoner.

Lie group integrators are numerical methods used for solving differential equations evolving on a manifold by means of a Lie group action. This thesis introduces the type of Lie group integrators known as Runge-Kutta-Munthe-Kaas methods. It is possible to choose between different coordinate maps and Lie groups. Here we will consider on the three coordinate maps called canonical coordinates of the first and second kind and the Padé(1,1) transform. We shall apply these coordinate maps to the Lie groups SO(3), Sp(1), SE(3), and dual unit quaternions. This thesis provides numerical experiments on Euler's free rigid body and the $N$-fold three dimensional pendulum.