Global Bifurcation of a Nonlocal Equation

Abstract

Vi studerer en dispersiv likning av typen fraksjonell Korteweg–de Vrie [38, 46] med en ikke-lokal ikkelineæritet som er en Coifman–Meyer operator [14], som når betraktet i stabile variabler antar formen -µϕ + Λ^s ϕ + ϕ Λ^r ϕ = 0 hvorΛ^s og Λ^r er Fouriermultiplikatorer av Besselpotensiale med ordensparametre r, s < 0. I tr˚ad med rammeverket til analysen lagt frem i Ehrnström–Wahlén [23] så etablerer vi a priori estimat, touching lemma og et teorem om nodalegenskaper i tilfellet r = s, hvor vi i tillegg kommenterer tilfellet r =/= s hvor bare delvise resultat er oppnådd. Et teorem om regulariteten under betingelsen Λ^r ϕ < µ, pålagt ad hoc. Dessuten etablerer vi et oppsett for reell-analytisk global bifurkasjon i tråd med Buffoni–Toland [13] og bruker det til å utføre lokal bifurkasjonsanalyse hvor bifurkasjonskurvene er utvidet til globale kontinuerlige kurver over bifurkasjonsrommet bestående av Hölder–Zygmund-funksjonene. Bifurkasjonsformler er etablert og analysert for generell r, s < 0. Et teorem angående den degenerative naturen av løsninger med Λ^r ϕ(0) = 0 er etablert og brukt til å argumentere mot eksistensen av singulære løsninger.

We study a dispersive equation of fractional Korteweg–de Vrie type [38, 46] with a nonlocal nonlinearity which is a Coifman–Meyer operator [14], which when in steady variables takes the form -µϕ + Λ^s ϕ + ϕ Λ^r ϕ = 0 where Λs and Λr are Fourier multipliers of Bessel potential type with order parameters r, s < 0. Following the framework of the analysis laid out in Ehrnström–Wahlén [23] we establish a priori estimates, touching lemmata and a nodal property theorem in the case r = s, with comments on the case r =/= s where partial results are achieved. A regularity theorem of solutions under the ad hoc condition Λ^r ϕ < µ is established. Furthermore, a setup of real-analytic global bifurcation analysis in the spirit of Buffoni–Toland [13] is established and used to perform local bifurcation analysis from which curves are extended into global continua of solutions over the bifurcation space of Hölder–Zygmund functions. Bifurcation formulas are established and analyzed for general r, s < 0. A theorem on the degenerating nature of solutions with Λ^r ϕ(0) = 0 is established and used to argue against the existence of singularities.