Global Bifurcation of a Nonlocal Equation
Master thesis
Permanent lenke
https://hdl.handle.net/11250/3050165Utgivelsesdato
2022Metadata
Vis full innførselSamlinger
Sammendrag
Vi studerer en dispersiv likning av typen fraksjonell Korteweg–de Vrie [38, 46] meden ikke-lokal ikkelineæritet som er en Coifman–Meyer operator [14], som når betraktet i stabile variabler antar formen-µϕ + Λ^s ϕ + ϕ Λ^r ϕ = 0hvorΛ^s og Λ^r er Fouriermultiplikatorer av Besselpotensiale med ordensparametrer, s < 0. I tr˚ad med rammeverket til analysen lagt frem i Ehrnström–Wahlén [23]så etablerer vi a priori estimat, touching lemma og et teorem om nodalegenskaperi tilfellet r = s, hvor vi i tillegg kommenterer tilfellet r =/= s hvor bare delvise resultat er oppnådd. Et teorem om regulariteten under betingelsen Λ^r ϕ < µ, pålagtad hoc. Dessuten etablerer vi et oppsett for reell-analytisk global bifurkasjon i trådmed Buffoni–Toland [13] og bruker det til å utføre lokal bifurkasjonsanalyse hvorbifurkasjonskurvene er utvidet til globale kontinuerlige kurver over bifurkasjonsrommet bestående av Hölder–Zygmund-funksjonene. Bifurkasjonsformler er etablert oganalysert for generell r, s < 0. Et teorem angående den degenerative naturen avløsninger med Λ^r ϕ(0) = 0 er etablert og brukt til å argumentere mot eksistensen avsingulære løsninger. We study a dispersive equation of fractional Korteweg–de Vrie type [38, 46] with anonlocal nonlinearity which is a Coifman–Meyer operator [14], which when in steadyvariables takes the form-µϕ + Λ^s ϕ + ϕ Λ^r ϕ = 0where Λs and Λr are Fourier multipliers of Bessel potential type with order parameters r, s < 0. Following the framework of the analysis laid out in Ehrnström–Wahlén[23] we establish a priori estimates, touching lemmata and a nodal property theorem in the case r = s, with comments on the case r =/= s where partial results areachieved. A regularity theorem of solutions under the ad hoc condition Λ^r ϕ < µis established. Furthermore, a setup of real-analytic global bifurcation analysis inthe spirit of Buffoni–Toland [13] is established and used to perform local bifurcation analysis from which curves are extended into global continua of solutions overthe bifurcation space of Hölder–Zygmund functions. Bifurcation formulas are established and analyzed for general r, s < 0. A theorem on the degenerating nature ofsolutions with Λ^r ϕ(0) = 0 is established and used to argue against the existence ofsingularities.