Cut finite element methods for modeling excitable cells

Abstract

EMI (Ekstracellulær-Membran-Intracellulær) modellen beskriver elektrisk aktivitet i hjerneceller, og representerer både de ekstracellulære og intracellulære områdene og cellemembranen eksplisitt. Modellen kobler et system av partielle differensiallikninger (PDE) på de intracellulære og ekstracellulære områdene med et system av ordinære differensiallikninger (ODE) på membranen for å beskrive forplantningen av elektrisk potensial i hjerneceller. PDE-ODE systemet er ikke-trivielt og må bli løst ved hjelp av numeriske metoder som f.eks. elementmetoden. En stor utfordring for EMI modellen er generering av høykvalitetsnett som skal tilsvare de kompliserte geometriene til hjerneceller. En mulighet for å løse denne utfordringen er ikke-romlige tilpassede elementmetoder, som f.eks CutFEM, som tillater at geometriene er representert uavhengig av beregningsdomenet.

I denne oppgaven foreslår vi en ny CutFEM basert diskretisering for å løse EMI modellen numerisk. EMI modellen er splittet i separate ODE og PDE problem ved hjelp av Godunov splitting. Det resulterende PDE problemet er et ikke-standard elliptisk grenseflateproblem som vi foreslår to nye CutFEM formuleringer for. Den første formuleringen, kalt den likedimensjonale primale formuleringen, beregner de intracellulære og ekstracellulære potensialene. Vi beviser at denne formuleringen oppfyller både kondisjonstallestimat og optimale a priori feilestimat som er geometrisk robuste, som betyr at de ikke er sensitive til hvordan membrangeometrien er plassert i beregningsdomenet. Den andre formuleringen, kalt den flerdimensjonale primale formuleringen, inkluderer strøm over cellemembranen i tillegg til de elektriske potensialene som fører til at den har samme form som et sadelpunktsproblem. Vi beviser at ved å legge til passende stabilisering tilfredsstiller denne formuleringen en geometrisk robust inf-sup betingelse som tillater oss å vise ett a priori feilestimat for diskretiseringsfeilen for strømmen over membranen og de ekstra/intracellulære potensialene. Etterpå introduserer vi en ny ikke-romlig tilpasset diskretisering for ODE problemet, som tillater ODE systemer å bli løst på membrangrenseflaten uten å tilpasse nettet. Til slutt utfører vi omfattende numeriske studier som underbygger de teoretiske resultatene og demonstrerer at CutFEM er en lovende metode for effektiv simulering av elektrisk aktivitet i hjerneceller.

The EMI (Extracellular-Membrane-Intracellular) model describes electrical activity in brain cells, where the extracellular and intracellular spaces and cellular membrane are explicitly represented. The model couples a system of partial differential equations (PDEs) in the intracellular and extracellular spaces with a system of ordinary differential equations (ODEs) on the membrane to describe the propagation of electrical potentials in brain cells. The PDE-ODE system is highly non-trivial and must be solved with numerical methods such as the finite element method. A key challenge for the EMI model is the generation of high-quality meshes conforming to the complex geometries of brain cells. A possible way to overcome this challenge is the cut finite element method (CutFEM), which allows the geometry to be represented independently of the computational domain.

In this thesis, we develop both theoretically and practically a novel CutFEM based discretization to solve the EMI model numerically. Starting from a Godunov splitting scheme, the EMI model is split into separate PDE and ODE parts. The resulting PDE part is a non-standard elliptic interface problem, for which we propose two novel CutFEM formulations. The first formulation, called the single-dimensional primal formulation, computes the intracellular and extracellular potential. We prove that this formulation satisfies condition number estimates and optimal a priori error estimates which are geometrically robust, i.e., insensitive to how the cell membrane geometry is embedded into the computational domain. The second formulation, called the multi-dimensional primal formulation, includes the electrical current across the membrane in addition to the potentials, leading to a saddle point problem. We show that after adding suitable stabilization terms, the formulation satisfies a geometrically robust inf-sup condition allowing us to establish an a priori error estimate for the discretization error of the electric membrane current and the extra/intracellular potentials. Next, we introduce a new unfitted discretization for the ODE part, which is based on a stabilized mass matrix approach and allows us to solve the membrane bound ODEs even if the membrane interface is not fitted to the computational domain. Finally, we perform extensive numerical studies that corroborate the theoretical results and demonstrate that CutFEM is a promising approach to efficiently simulate electrical activity in brain cells.