Representations and Character Varieties of Frieze groups

Abstract

Oppgaven omhandler representasjoner av frieze gruppene med en og to genearatorer i den generelle lineære gruppen over et vektorrom komplekst endelig dimensjonalt vektorrom V. Disse gruppene er den uendelige sykliske gruppen, produktet av den uendelige sykliske gruppen og gruppen av orden 2, og den uendelige diedergruppen. Vi beskriver de forbinnede komponentene av representasjons varietetene.

Deretter diskuterer vi karakter varietetene til disse gruppene. Vi beviser at denne varieteten til produktet av den uendelige sykliske gruppen og gruppen av orden 2 er dim(V)+1 kopier av varieteten til den uendelige lineære gruppen.

Til slutt diskuterer vi karakter varietetene til den uendelige diedergruppen. Vi beviser at i dimensjon 2 og 3 er dette en disjunkt union av isolerte punkter og de komplekse tallene. Vi gir også noen resultater som beskriver tangent rommene til enkelte punkter i høyere dimensjoner.

The thesis concerns representations of the frieze groups with two generators in the general linear group of a complex finite dimmensional vector space V. These groups are the infinte cyclic group, the product of the infinite cyclic group and the cyclic group of order 2, and the infinite dihedral group. We describe the connected components of their represantation varieties.

We then discuss the character varieties of these groups. We prove that the character variety of the product of the infinite cyclic group and the cyclic group of order 2 is dim(V)+1 copies of the caharacter variety of the infinite cyclic group.

Lastly we discuss the character varieties of the infinite dihedral group. We prove that for dimension 2 and 3 it is the disjoint union of isolated points and copies of the complex numbers. We also compute the tangent space for certain points in higher dimensions.