Cut finite element methods for partial differential equations on moving domains

Abstract

Når kompliserte fysiske fenomener innenfor forskning og ingeniørvitenskap undersøkes, er modellering med partielle differensialligninger (PDE-er) nærmest uunngåelig. Et vidt utvalg av fysiske problemer omhandler hvordan fluider beveger seg og interagerer med omgivelsene. Eksempler på dette kan være problemer som beskriver fluid/struktur-interaksjoner eller flerfasestrømninger. Kompliserte problemer innen multifysikk involverer ofte at domenet gjennomgår store geometriske deformasjoner. Hvis slike problemer løses med den klassiske elementmetoden ved å transformere nettet, kan dette føre til store deformasjoner eller et ugyldig nett. CutFEM er en variant av elementmetoden, og er en lovende diskretiseringsteknikk som tillater geometrien til domenet å representeres uavhengig av elementoppdelingen. Med CutFEM trenger man altså ikke tilpasse nettet til domenet. Denne metoden kan derfor forenkle nettgenereringen betraktelig for problemer på kompliserte domener.

Siden CutFEM er en ikke-tilpasset metode, kan komplekse og bevegelige domenegrenser representeres uavhengig av nettet. Geometrien til domenet beskrives av en nivåmengdefunksjon, og Dirichlet grensebetingelser settes ved hjelp at Nitsches metode. Ved å utvide den svake formuleringen med et stabiliseringsledd, blir CutFEM en stabil og optimalt konvergent diskretiseringsmetode for vilkårlige kuttkonfigurasjoner. Siden generering av et høykvalitetsnett kan være kostbart, kan bruk av CutFEM føre til en stor forbedring i beregningstid. Dette gjelder spesielt for PDE-er løst på bevegelige domener. Når det gjelder stasjonære domener, er teorien bak CutFEM godt utviklet, og et utvalg numeriske studier bekrefter de teoretiske resultatene. Imidlertid finnes det få detaljerte studier som undersøker konvergensegenskapene til CutFEM på bevegelige domener.

I denne oppgaven foretar vi en detaljert undersøkelse av CutFEMs egnethet for løsing av komplekse PDE-er på bevegelige domener. Hovedfokuset vil være å evaluere stabilitets- og konvergensegenskapene til metoden. Dette gjøres ved å gjennomføre grundige numeriske eksperimenter av parabolske og fluiddynamiske problemer på domener med kjent bevegelse. Vi undersøker eksisterende teori og teknikker for løsing av parabolske problemer på bevegelige domener. Videre bruker vi disse teknikkene for å løse fluiddynamiske problemer på bevegelige domener. Eksperimentene krever at den praktiske implementeringen av CutFEM håndterer utfordringer som ikke forekommer for problemer på stasjonære domener. De grundige konvergensstudiene viser at CutFEM oppnår optimal konvergens for varmeligningen, Stokes-problemet og Navier-Stokes-ligningene på både stasjonære og bevegelige domener.

When modelling physical phenomena in science and engineering, Partial Differential Equations (PDEs) are ubiquitous. A wide range of problems involves describing how fluids interact with the surroundings. Examples include fluid-structure interaction problems and multi-phase flows. Complicated multiphysics problems often involve moving computational domains undergoing large geometrical deformations. A classical finite element method (FEM) with moving meshes might lead to a highly deformed or invalid mesh. Then costly re-meshing might be required. The Cut Finite Element Method (CutFEM) is a promising discretisation technique that allows the geometry of the domain to be represented independently of the computational grid. This method can significantly simplify the mesh generation for problems posed on complex domains.

As an unfitted method, CutFEM allows complex and moving boundaries to be represented independently of the finite element mesh. The geometry of the domain is described as a level set function, and Dirichlet boundary conditions are enforced using Nitsche's method. By extending the weak formulation with a stabilisation term, CutFEM remains a stable and optimally convergent approximation method for arbitrary cut configurations. Since generating high-quality meshes can be costly, CutFEM can offer a vast improvement on computing time, especially when PDEs are solved on moving domains. For stationary domains, the theory of CutFEM is well-developed, and several numerical studies corroborate the theoretical results. However, there are not many detailed studies investigating the convergence properties of CutFEM on moving domains.

In this thesis, we perform a detailed investigation of CutFEM's suitability for solving complex PDEs on moving domains. The main focus is to assess the stability and convergence properties of CutFEM. This is done by performing thorough numerical experiments of parabolic problems and flow problems on domains with prescribed motion. We investigate the existing theory for parabolic problems on moving domains. Then, the presented technique is applied for solving fluid dynamical problems on moving domains. The experiments require the practical implementation of CutFEM to cope with challenges not present in the stationary domain case. The detailed experiments show optimal convergence for the heat, Stokes and Navier-Stokes equations on both stationary and moving domains.