Geometric and Functional Analytic Aspects of Time-Frequency Analysis

Abstract

Sammendrag på norsk Denne avhandlingen omhandler geometriske og funksjonalanalytiske aspekter ved tid-frekvensanalyse. Mer spesifikt drøfter avhandlingen de tre følgende delvis relaterte temaene: Dekomponeringsrom: I artikkel A og artikkel B studerer vi dekomponeringsrom ved å bruke teknikker fra geometri i stor skala. Dekomponeringsrom er en klasse med funksjonsrom som inkluderer modulasjonsrommene og Besovrommene. Vi utvikler et begrep om geometriske avbildninger mellom forskjellige dekomponeringsrom. I tillegg utbygger vi teorien om dekomponeringsrom på nilpotente liegrupper. Hovedresultatet vårt i denne retningen etablerer at en stor klasse med modulasjonsrom på nilpotente liegrupper er ulik fra de euklidske modulasjonsrommene. Waveletrom: I artikkel C studerer vi waveletrom ved å bruke teknikker fra reproduserbar kjerne hilbertrom. Et spesialtilfelle av waveletrom har blitt undersøkt tidligere i tid-frekvensanalyse under navnet Gabor-rom. Vi oppdager en sammenheng mellom fullstendige interpolerende Gabor-rom og HRT-formodningen i tid-frekvensanalyse. Kvanteharmonisk analyse: I artikkelDog artikkel E utvikler vi kvanteharmonisk analyse på den affine gruppen. Dette krever en grundig undersøkelse av den affine Wigner-distribusjonen. Av spesiell interesse er definisjonen av tillatelige operatorer. Mange av resultatene vi gir sikter mot å knytte sammen den affine Weyl-kvantiseringen med konvolusjoner på den affine gruppen. Beskrivelsene ovenfor hentyder at avhandlingen setter søkelys på å generalisere tid-frekvensanalyse i forskjellige retninger. På tross av generaliteten i avhandlingen utvikler vi resultater som vi tror er av interesse for konkrete eksempler. En rød tråd gjennom avhandlingen er unikhet: Artikkel A: Vi undersøker forskjellige egenskaper fra geometri i stor skala (f.eks. asymptotisk dimensjon og hyperbolskhet) som differensierer forskjellige dekomponeringsrom. Slike egenskapene bestemmer hvorvidt forskjellige dekomponeringsrom kan bli kontinuerlig avbildet inn i hverandre slik at geometriske egenskaper blir bevart. Artikkel B: Vi konstruerer modulasjonsrom på bestemte nilpotente liegrupper. Av særskilt interesse er spørsmålet om hvorvidt de nye funksjonsrommene er ulike fra de klassiske euklidske modulasjonsrommene. Vi besvarer dette spørsmålet bekreftende. Artikkel C: Vi undersøker waveletrom og deres egenskaper som reproduserbar kjerne hilbertrom. En konsekvens er at vi utvider tidligere resultater om unikhet av waveletrom ved å bruke verktøy fra representasjonsteori. Artikkel D: Vi betrakter den affineWigner-distribusjonen og dens grunnleggende egenskaper. En av anvendelsene er et minimeringsproblem for den affine Wigner-distribusjonen. Selv for den tradisjonelle Wigner-distribusjonen er det uklart hvor mange unike minimerere som eksisterer. Vi besvarer dette spørsmålet for Wigner-distribusjonen og den affine Wigner-distribusjonen. Artikkel E: Vi utvikler et kvanteharmonisk analyse rammeverk for den affine gruppen. Rammeverket benytter seg av en operator som kalles den affine paritetsoperatoren. Det viser seg at vår fremgangsmåte er unik fra tidligere fremgangsmåter i den forstand at vi kan representere kvantiseringen som operatorkonvolusjon med den affine paritetsoperatoren.

Abstract in English This thesis revolves around both geometric and functional analytic aspects of timefrequency analysis. More specifically, the thesis deals with the following three related topics: Decomposition Spaces: Both Paper A and Paper B study decomposition spaces through the lens of large scale geometry. Decomposition spaces include the modulation spaces and the Besov spaces as special cases. We develop a notion of geometric embeddings between different decomposition spaces in Paper A. In Paper B we advance the theory of decomposition spaces on nilpotent Lie groups. Our main result in this direction establishes that a large class of modulation spaces on nilpotent Lie groups is distinct from their Euclidean counterparts. Wavelet Spaces: In Paper C we study wavelet spaces by utilizing techniques from reproducing kernel Hilbert spaces. A special case of wavelet spaces has been investigated in time-frequency analysis under the name Gabor spaces. We discover a connection between fully interpolating Gabor spaces and the HRT-conjecture in time-frequency analysis. Quantum Harmonic Analysis: In Paper D and Paper E we develop quantum harmonic analysis on the affine group. This requires a careful examination of the affineWigner distribution and the affineWeyl quantization. Of particular interest is the development of a notion of admissibility for operators in the affine setting. Many of our results are aimed at connecting the affine Weyl quantization with convolutions on the affine group. As indicated by the descriptions above, the thesis is concerned with generalizing time-frequency analysis in various directions. Despite the general approach considered in the thesis, some of the developed results are new even in well-studied settings. A common conceptual theme across the papers is distinctness: Paper A: We consider various properties from large scale geometry (e.g. asymptotic dimension and hyperbolicity) that allows us to distinguish different decomposition spaces. These properties even determine whether different decomposition spaces can embed into one another while preserving geometric properties. Paper B: We construct modulation spaces on certain nilpotent Lie groups. Of central importance is the question of whether these new function spaces are distinct from the classical Euclidean modulation spaces. We answer this question affirmatively. Paper C: We investigate wavelet spaces and their properties as reproducing kernel Hilbert spaces. One side-effect is thatwe generalize previously known results regarding distinctness of wavelet spaces by using well-known tools from representation theory. Paper D: We consider the affine Wigner distribution and its basic properties. Among the applications is a minimization problem for the affine Wigner distribution. Even for the standard Wigner distribution it is not clear how many distinct minimizers exist. We settle this question in both the Heisenberg and the affine setting. Paper E: We develop a quantum harmonic analysis framework for the affine group. Our framework heavily uses the so-called affine parity operator. It turns out that our approach is distinct from previous affine quantizations in the literature. In particular, we can represent the quantization procedure as operator convolutions with the affine parity operator.