Introduction to Commutative Ring Theory, from Localization to Complete Intersections

Abstract

This thesis will be an introduction to commutative ring theory, with an end goal of introducing complete intersection rings and reviewing some results about them. It will be written with the assumption that the reader is familiar with some basic algebraic concepts, such as groups, rings, and modules.

The first part is localisation of rings. It is important to have tools at hand to construct local rings in order to have a wider array of "nice" rings to work with. It is also important to know what properties such a construction will have. The next part is about primary decomposition of ideals. This part consists of results about primary ideals, and how an intersection of them can be a way of representing an ideal, and that representation's properties. The theory of primary ideals also comes up when working with dimension theory as we will work with systems of parameters of local rings.

The next part will be about the a-adic completions of rings and modules, and the Artin-Rees lemma. This construction is complicated and is based on taking the inverse limit of an inverse system constructed from the ring and an ideal a. The last part of what we might call the preliminaries of this thesis is dimension theory. In this part we introduce the concept of graded rings and modules and the Hilbert functions, as well as proving some properties about dimensions specific for Noetherian local rings.

The last part will be about complete intersection rings, and some results regarding them. For example, that any C.I ring is of the form a complete regular local ring quotient with an ideal generated by a regular sequence. Here we will need all the previous parts to describe them sufficiently. We also need to introduce some new theory to be able to define them.

Denne oppgaven vil være en introduksjon til kommutativ ringteori, med ett mål om å introduce komplette snitt og å arbeide med noen resultater om dem. Den vil bli skrevet under antagelsen om at leseren er kjent med grunnleggende algebraiske konsepter, som grupper, ringer, og moduler.

Den første delen omhandler lokalisering av ringer. Dette er et viktig redskap å ha tilgjening siden det gir oss muligheten til konstruere flere "fine" ringer vi kan jobbe med. Det er også viktig å vite hvilke egenskaper som blir bevart i en ring når man lokaliserer den. Den neste delen vil handle om primærdekomposisjon av idealer. Denne delen består av resultater om primære ideal, og om hvordan ett snitt av dem kan være en måte å representere idealer på, og den representasjonens egenskaper. Denne teorien vi ser på kommer opp igjen når vi ser på dimensjonsteori senere i oppgaven.

Den neste delen vil være om a-adiske kompletteringer av ringer og moduler, og om Artin-Rees lemmaet og dens følger. Denne konstruksjonen er komplisert og er basert på å ta inverse grensen av ett invers system konstruert av en ring og ett ideal a. Den siste delen av det man kan kalle de innledende delene av oppgaven vil handle om dimensjonsteori. I denne delen vil vi se på graderte ringer og moduler, Hilbert funksjoner og se på noen resultater spesifikt for lokale noetherske ringer.

Den siste delen vil handle om komplette snitt ringer, og noen resultater om den. F.eks. ett hvert komplett snitt vil være på formen en kompett regular lokal ring faktorisert ut med ett ideal generert av en regulær følge. I denne delen vil vi bruke mye av den teorien vi så på tidligere.