A PDE-Based Strategy for Reconstructing Curves from Irregular and Unstructured Sampled Data

Abstract

Vi ser på todimensjonal rekonstruksjon av kurver fra et PDE-perspektiv. PDE-perspektivet er en implisitt nivåsett-tilnærming med formål om å håndtere irregulære datasett med støy. All teorien i denne oppgaven kan utvides til det tredimensjonale tilfellet uten vanskeligheter, hvis man vil bruke metoden til å rekonstruere overflater. Metoden har en rekke bruksområder der overflater eller kurver skal rekonstrueres fra måledata og få antakelser kan tas på forhånd.

Oppgaven vil ta for seg den teoretiske bakgrunnen for å utlede nye nivåsett-metoder, samt implementeringsdetaljer knyttet til numeriske løsninger. Modellene testes på fire datasett, konstruert for å vise styrker og svakheter ved modellene. Testene validerer de teoretiske resultatene og simuleringene demonstrerer hvordan de ulike modellene kan justeres for å tilpasses spesifikke datasett. Når parametrene er valgt riktig viser resultatene glatte kurver som tilpasser seg datapunktene godt. Likevel er løsningene bare makroskopisk stasjonære og løsningene for datasett med støy viser en viss strukturell skjevhet.

We consider the problem of two-dimensional curve reconstruction from pointwise measurements from a PDE perspective. The PDE approach is an implicit level set approach that aims to be robust for noisy and irregular data sets. The theory presented in this thesis can be extended to three-dimensional surface reconstruction without difficulty. It can be applied in various applications where the aim is to reconstruct a curve or surface from a set of data measurements with few assumptions.

This thesis provides the theoretical background for deriving new level set models, and implementational details to solve the problems numerically. The models are tested on four data sets constructed to demonstrate their strengths and weaknesses. In addition, the test cases validate the theoretical analysis performed for all derived models. The numerical simulations also demonstrate how to adjust the model parameters to adapt to specific configurations of sample points. The resulting curves are smooth and approximate the data points nicely provided good parameter choices. However, the solutions are only macroscopically stationary, and the solutions for the noisy data sets tend to show a slight bias.