Construction of Salem Sets

Abstract

I denne oppgaven vil vi utforske salemmengder. En salemmengde er en borelmengde hvor hausdorffdimensjonen tilsvarer fourierdimensjonen. Det er kjent at hausdorffdimensjonen er begrenset nedenfra av fourierdimensjonen, og at ulikheten kan være streng. Dette er tilfellet for cantormengden.

Hovedfokuset vil være på to eksplisitte konstruksjoner av salemmengder på enhetsintervallet. Den første er av tilfeldige cantormengder. Denne konstruksjonen ble først introdusert på 1950-tallet, og senere videreutviklet på 1990-tallet. For en bestemt $\alpha\in(0,1)$, vil vi konstruere en tilfeldig cantormengde hvor hausdorffdimensjonen er begrenset ovenfra av $\alpha$. Ved å estimere forventningsverdien til et sannsynlighetsmål med støtte på den tilfeldige cantormengden, klarer vi å begrense fourierdimensjonen nedenfra nesten helt sikkert med $\alpha$. Dermed følger det at konstruksjon er nesten helt sikkert en salemmengde med dimensjon $\alpha$, og at vi kan konstruere salemmengder med hvilken som helst dimensjon $\alpha\in(0,1)$.

Den andre konstruksjonen gir en deterministisk konstruksjon av salemmengder. Denne metoden har sine røtter i tallteori, hvor vi ser på mengden $E_{\alpha}$ av tall som kan $\alpha$-approksimeres godt. Et kjent resultat av Jarn\'ik og Besicovitch er at mengden $E_{\alpha}$ har hausdorffdimensjonen $2/(2+\alpha)$. Hovedproblemet er dermed å estimere fourierdimensjonen. Vi konstruerer en undermengde $S_{\alpha}\subset E_{\alpha}$, og viser at fourierdimensjonen til $S_{\alpha}$ er begrenset nedenfra av $2/(2+\alpha)$. Dette fører til at både $S_{\alpha}$ og $E_{\alpha}$ vil være salemmengder med dimensjon $2/(2+\alpha)$.

In this thesis we study the concept of Salem sets. A Borel set is called a Salem set if the Hausdorff dimension coincides with the Fourier dimension. It is known that the Hausdorff dimension is bounded from below by the Fourier dimension, and that the inequality may be strict. This happens for instance with the Cantor set.

Our main focus will be on two explicit constructions of Salem sets on the unit interval. The first is that of random Cantor sets. This construction was introduced in the 1950s and later expanded upon in the 1990s. For a fixed $\alpha\in(0,1)$, we will construct a random Cantor set where the Hausdorff dimension is bounded from above by $\alpha$. By estimating the expected value of a probability measure supported on the random Cantor set, we are able to bound the Fourier dimension from below almost surely by $\alpha$. It follows that the construction is almost surely a Salem set with dimension $\alpha$, and that we are able to construct Salem sets of any dimension $\alpha\in(0,1)$.

The second construction provides a deterministic construction of a Salem set. This method has its roots in number theory. We consider the set of $\alpha$-well approximable numbers, denoted $E_{\alpha}$. A known result by Jarn\'ik and Besicovitch is that $E_{\alpha}$ has Hausdorff dimension $2/(2+\alpha)$. The main problem is therefore to estimate the Fourier dimension. We construct a subset $S_{\alpha}\subset E_{\alpha}$, and show that the Fourier dimension of $S_{\alpha}$ is bounded from below by $2/(2+\alpha)$. This implies that both $S_{\alpha}$ and $E_{\alpha}$ are Salem set with dimension $2/(2+\alpha)$.