On formal DG-algebras

Abstract

En differensialgradert algebra (DG-algebra) kan ofte sees på som en samling av høyt detaljert topologisk informasjon. To slike tilfeller er algebraen av kokjeder, og kohomologiringen til et topologisk rom. Den sistnevnte er ofte lett å regne ut, men den førstnevnte innholder generelt mye mer informasjon om rommet vi er interessert i. I denne avhandlingen utforsker vi forholdet mellom disse to algebraene - mer presist noen situasjoner hvor disse to innholder den samme homotopiske informasjonen. Slike algebraer kalles formelle DG-algebraer.

For å forstå hvilken type homotopisk informasjon en DG-algebra kan inneholde, konstruerer vi hindringer for formalitet gjennom høyere ordens kohomologioperasjoner - kalt Massey produkter. Vi generaliserer så DG-algebraer til A∞-algebraer, og ser på noen måter å bruke denne generaliserte teorien som et felles rammeverk for både DG-algebraer og Massey produkter. Dette rammeverket tillater oss å vise at en viss klasse av topologiske rom - nemlig de med Lusternik-Schnirelmann kategori 1 - har formelle kokjede algebraer.

A differential graded algebra (DG-algebra) can often be thought of as an algebraic gadget containing highly detailed topological information. Two such cases are the algebra of cochains, and the cohomology ring of a topological space. The latter is often easy to calculate, but the former contains in general much more information about the space we are interested in. In this thesis we explore the relationship between these two DG-algebras---more precisely some situations where these two algebras contain the same homotopical information. Such algebras are called formal DG-algebras.

In order to understand which type of homotopical information a DG-algebra can contain, we construct obstructions to formality through higher cohomology operations---called Massey products. We then generalize DG-algebras to A∞-algebras, and look at some ways to use this generalized theory as a unified framework for both DG-algebras and Massey products. This framework allows us to prove that a certain class of topological spaces---namely those with Lusternik-Schnirelmann category 1---have formal cochain algebras.