Constructing Isogenies Between Elliptic Curves

Abstract

I denne oppgaven utforsker vi metoder for å beregne isogenier mellom elliptiske kurver i både det ordinære og supersingulære tilfellet. Dette er et forsøk på å forstå sikkerhetsgrunnlaget til isogenibasert kryptografi. Gjennom oppgaven kommer vi til å utforske algebraisk tallteori, kvaternionalgebra, gitre og noen spesifikke algoritmer for å jobbe med slike objekter. Videre kommer vi til å forklare hvordan vi konstruerer en isogeni mellom en gitt start- og sluttkurve i det ordinære og supersingulære tilfellet. Til slutt skal vi se på to anvendelser av teorien mot de konkrete isogenibaserte kryptosystemene SIDH og SQISign.

In this thesis, we will explore methods to compute isogenies between elliptic curves in the ordinary and supersingular case. This is an attempt to understand the security foundations of isogeny-based cryptography. We will explore topics in algebraic number theory, quaternion algebra, lattices, and some specific algorithms for dealing with such objects. Next, we will explore how to compute a connecting isogeny given only the starting and ending curve in both the ordinary case and the supersingular case. Finally, we will look at two applications for this theory in terms of the concrete isogeny-based cryptosystems SIDH and SQISign.