Hierarchical ensemble Kalman filter formulated with sparse matrices

Abstract

Hierarkisk ensemble Kalmanfilter (HEnKF), introdusert i Omre og Myrseth (2010), er en utvidelse av ensemble Kalmanfilter (EnKF). Ved å ilegge en hierarkisk modell på state space-variablene har HEnKF vist å gi mer robuste resultater enn EnKF. En konsekvens av dette er imidlertid at HEnKF er beregningsmessig krevende, spesielt for høydimensjonale systemer. Ved å ilegge et Gaussisk Markovfelt (GMRF) på state space-variablene er vi i stand til å redusere den beregningsmessige kostnaden ved HEnKF.

I denne oppgaven foreslår vi en ny apriorifordeling for modellparameterne til state space-variablene, hvor vi antar en GMRF. Vi argumenterer for at vi er stand til å redusere den beregningsmessige kostnaden i HEnKF, ved å anvende den glisne matrisestrukturen vi oppnår gjennom en GMRF. To numeriske eksempler er presentert, hvor resultater anskaffet med apriorifordelingen opprinnelig brukt i HEnKF er sammenlignet med resultater anskaffet med apriorifordelingen presentert i denne oppgaven.

I begge de numeriske eksemplene er apriorifordelingen presentert i denne oppgaven i stand til å redusere den beregningsmessige kostnaden, sammenlignet med apriorifordelingen opprinnelig brukt i HEnKF. Apriorifordelingen introdusert i denne oppgaven i stand til å produsere pålitelige resultater i begge eksempler, selv når state space-variabelen er høydimensjonal, mens kvaliteten på resultatene med apriorifordelingen opprinnelig brukt i HEnKF avtar når dimensjonen på state space-variabelen øker. Teorien presentert i denne oppgaven antyder at den beregningsmessige kompleksiteten for HEnKF med den presenterte apriorifordelingen er lineær som funksjon av dimensjonen på state space-variabelen. Fra de numeriske eksemplene presentert i denne oppgaven observerer vi en beregningsmessig kompleksitet som er noe høyere.

The hierarchical ensemble Kalman filter (HEnKF), introduced in Omre and Myrseth (2010), is an extension of the ensemble Kalman filter (EnKF). By imposing a hierarchical model on the state space variables, HEnKF has shown to yield more robust results than EnKF. However, as a consequence of this, HEnKF is computationally demanding, especially for high-dimensional systems. By imposing a Gaussian Markov random field (GMRF) on the state space variables, we are able to reduce the computational cost of HEnKF.

In this thesis, we propose a new prior distribution for the model parameters of the state space variables, where we assume a GMRF. We argue that we are able to reduce computational cost of HEnKF, by utilizing the sparse matrix structure provided by the GMRF. Two numerical examples are presented, where results provided by the prior distribution originally used in HEnKF are compared to results provided by the prior distribution presented in this thesis.

In both of the numerical examples, the prior distribution presented in this thesis is able to provide a considerable reduction in computational demand, compared to the prior distribution originally used in HEnKF. The prior distribution introduced in this thesis is also able to produce reliable results in both examples, even when the state space variable is high-dimensional, while the quality of the results provided by the prior distribution originally used in HEnKF decreases as the dimension of the state space variable increases. The theory presented in this thesis suggests that the computational complexity of HEnKF applying the presented prior distribution is linear as a function of the dimension of the state space variable. From the numerical results presented in this thesis, we observe that the computational complexity is somewhat higher.