Performance Modeling of Adaptive Mesh Refinement for the Shallow Water Equations

Abstract

I denne avhandlinga studerer me ytings- og skalerings-karakteristikkar ved adaptivt raffinerte endelege differansar-løysingar av gruntvasslikningane.

Gruntvasslikningane er eit sett med likningar som blir nytta til å beskrive rørsler i væsker, slik som tidevatn, tsunamiar og stormflo. Endelege differansar-metodar er ein måte å løyse gruntvasslikningane numerisk. Adaptiv mesh-raffinering er ein teknikk for å sørgje for den naudsynte oppløysinga ved løysing av numeriske likningar, men kun på dei naudsynte plassane i tid og rom, for å halde ytinga så høg som mogleg.

I denne avhandlinga utviklar me ein proxy-applikasjon som løyser gruntvasslikningane ved bruk av MacCormack sin endelege differansar-metode, samt adaptiv mesh-raffinering. Me lagar ein ytingsmodell og bruker han til å gjere prediksjonar av ytinga og skalerbarheita til applikasjonen, og validerer desse prediksjonane eksperimentelt. Me set opp initielle forstyrringar forma som bølgjer i væska. Kvart av eksperimenta våre nyttar éi eller to ulike bølgjer.

Resultata våre viser at om me legg til eit ekstra nivå med raffinering, vil det totale antalet punkt auke med ein faktor mellom 1 og r^3 + 1, der r er raffineringa mellom to nivå. Dersom lastbalansen er uendra og det ikkje er nokon kommunikasjon, vil køyretida auke med den same faktoren.

For sterk skalering vil bølgja med best lastbalanse skalere betre med antal nodar, både for den totale køyretida og for berekningstida. Den parallelle effektiviteten minkar med omlag same faktor som lastbalansen. Kommunikasjonstida utgjer ein låg andel av den totale køyretida.

For svak skalering, når me aukar problemstorleiken og antal nodar N med same faktor, vil berekningstida vere omtrent den same. Kommunikasjonstida aukar ikkje med N for N > 1. Summen av berekningstida og kommunikasjonstida er stabil for N > 1. Det betyr at me kan auke antal nodar og få meir arbeid utført på like lang tid.

In this thesis we study the performance and scalability characteristics of adaptively refined finite difference solutions to the shallow water equations.

The shallow water equations (SWE) are a set of equations used to describe the movement of fluids, such as tides, tsunami waves and storm surges. Finite difference methods (FDM) are one way to solve the SWE numerically. Adaptive mesh refinement (AMR) is a technique for providing the necessary resolution when solving equations numerically, but only in the necessary places in space and time, in order to keep the performance as high as possible.

In this thesis we develop a proxy application which solves the SWE using the MacCormack FDM and AMR. We create a performance model and use it to make predictions about the performance and scalability of the application, and experimentally validate those predictions. We set up initial disturbances shaped like waves in the fluid. Each of our experiments uses one or two different waves.

Our results show that if we add an extra level of refinement, the total number of points will increase with a factor between 1 and r^3 + 1, where r is the refinement between two levels. If the load balance is unchanged and there is no communication, the runtime will increase by the same factor.

For strong scaling, the wave with the better load balance scales better with the number of nodes, both for the total runtime and for the computation time. The parallel efficiency decreases by about the same factor as the load balance. The communication time is a small share of the total runtime.

For weak scaling, as we increase the problem size and the number of nodes N by the same factor, the computation time is about the same. The communication time does not increase with N for N > 1. The sum of the computation and the communication time is stable for N > 1. This means we can increase the number of nodes and get more work done in the same time.