Simulering av betingede, monotone stokastiske felt

Abstract

Vi studerer en monoton prosess i én dimensjon i en Bayesiansk setting. Vi formulerer to monotone a priorimodeller: en trunkert `Gaussian Random Field'-modell og en markovkjedemodell, samt algoritmer for å simulere fra disse. For å effektivisere simuleringen i `Gaussian Random Field'-modellen utnytter vi markovegenskapen til den eksponensielle korrelasjonsfunksjonen. Trenden i begge modellene er definert av stokastiske variable som inngår som hyperparametre. I `Gaussian Random Field'-modellen er forventningen definert av splines som vektes med stokastiske vekter. For markovmodellen er elementene i overgangsmatrisen stokastiske. Vi opererer med to forsøksdesign. Observasjonssettet kan enten være komplett, men da med observasjonsfeil, eller delvis med eksakte observasjoner for hver $k$-te node. For hver av forsøksdesignene og for begge modellene formulerer vi likelihood og posteriorimodell, og algoritmer for å simulere fra posteriorifordelingene. For å teste modellene genererer vi to sannheter med tilhørende observasjoner og simulerer fra de tilhørende posteriorifordelingene. Fra realisasjonene estimerer vi posteriori forventning og varians for feltet, og posteriorifordelingen for hyperparametrene. Sannsynligheten for at den ikke-trunkerte posteriori `Gaussian Random Field'-modellen er monoton er tilnærmet null, men for det eksakte datasettet klarer vi å få monotone realisasjoner ved å utnytte markovegenskapen. Markovmodellen er monoton slik vi definerer den, men krever mye mer beregningskapasitet enn `Gaussian Random Field'-modellen. Det viser seg at hvor godt modellene presterer avhenger av observasjonene og den underliggende sannheten. Men begge modellene klarer til en viss grad å predikere sannheten, selv med stor observasjonsfeil i dataene. Posteriorifordelingene til hyperparametrene gir oss delvis korrekt informasjon om de sanne parameterverdiene.