Asymptotic behaviour for parabolic-hyperbolic partial differential equations

Abstract

Vi studerer den asymptotiske oppførselen til varmelikninga og en skalar konveksjon-diffusjonslikning med et ikke-lineært konveksjonsledd, hvor vi følger (Zuazua, 2020). Rammeverket for arbeidet er sterke løsninger i $\mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ med initialdata i $L^1(\mathbb{R}^n)$. Først, ved bruk av et skaleringsargument og parabolsk $L^1$--$L^\infty$-smoothing, viser vi at den asymptotiske oppførselen til varmelikninga er gitt ved massen til løsninga ganger varmekjernen, og at det samme essensielt også gjelder dersom vi legger til et lineært konveksjonsledd i likninga. Deretter introduserer vi den skalare konveksjon-diffusjonslikninga, og etter å ha vist noen resultater om velstiltheten til denne likninga, undersøker vi dens asymptotiske oppførsel når ikke-lineariteten er på formen $a\partial_x(u^q)$ for $q>1$. Med en liknende fremgangsmåte som for varmelikninga, finner vi svak ikke-lineær asymptotisk oppførsel for $q>2$ i den forstand at det ikke-lineære leddet forsvinner, slik at oppførselen blir den samme som for varmelikninga. Tilfellet $q=2$ diskuteres ikke her, vi viser heller til (Escobedo & Zuazua, 1991). For $1<q<2$ finner vi at det ikke-lineære leddet dominerer, noe som gir hyperbolsk $L^1$--$L^\infty$-smoothing, hvor raten er endret i forhold til det parabolske tilfellet. Den resulterende asymptotiske oppførselen kalles sterk ikke-lineær, og er gitt av løsninga til en ren konveksjonslikning med initialdata gitt av massen til løsninga ganger Diracs delta. Til slutt presenterer vi noe teori for denne likninga, mer spesifikt entydighet for entropiløsninger med et ikke-negativt endelig Radonmål på $\mathbb{R}$ som initialdata.

We study the asymptotic behaviour of the heat equation and a scalar convection-diffusion equation with a non-linear convection term, mainly following (Zuazua, 2020). The work is carried out in a framework of strong solutions on $\mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ with initial data in $L^1(\mathbb{R}^n)$. First, using a scaling argument and parabolic $L^1$--$L^\infty$-smoothing, we show that the asymptotic behaviour of the heat equation is given by the mass of its solution times the heat kernel, and that the same essentially applies when introducing a linear convection term in the equation. Then, we introduce the scalar convection-diffusion equation, and after developing some results regarding well-posedness, we investigate its asymptotic behaviour when the non-linearity is of the form $a\partial_x(u^q)$ for $q>1$. By a similar approach as for the heat equation, we find weakly non-linear asymptotic behaviour for $q>2$, in the sense that the non-linear term disappears, leaving us with the same behaviour as for the heat equation. The case $q=2$ is not considered, here we refer to (Escobedo & Zuazua, 1991). For $1<q<2$, we find that the non-linear term dominates, yielding a hyperbolic $L^1$--$L^\infty$-smoothing result, where the rate is different from the parabolic result. The resulting asymptotic behaviour is called strongly non-linear, and is given by the solution of a purely convective equation with initial data given by the mass of the solution times Dirac's delta. Finally, we present some of the theory needed for this equation, specifically the uniqueness for entropy solutions with a non-negative finite Radon measure on $\mathbb{R}$ as initial data.