Triangulated structure of stable Frobenius categories and derived abelian categories

Abstract

Triangulære kategorier er et av hovedområdene innenfor homologisk algebra, spesielt gitt at er opptil flere viktige kategoriske strukturer som oppstår i nærliggende fagfelt som kan ses på med en triangulær struktur. Stabile modulkategorier kan naturlig bli funnet i representasjonsteori, samt til en viss grad i algebraisk topologi. Deriverte kategorier dukker oftest opp i homologisk algebra, men brukes til stor grad i algebraisk geometri.

I denne oppgaven bygger vi opp og definerer strukturen til triangulære kategorier ved å starte med grunnleggende kategoriteori. Ved å bygge på strukturen til en kategori ved å gi ulike krav til hvordan kategoriene skal oppføre seg, ser vi på flere ulike kategoriske strukturer, da spesielt triangulære kategorier. Så ser vi på to spesifikke typer kategorier, den stabile kategorien til en Frobenius kategori and den deriverte kategorien til en abelsk kategori, for så å bevise at de begge kan bli utstyrt med en triangulær struktur.

Triangulated categories is one of the main areas of study in homological algebra, especially given that there are several important categorical structures appearing in related fields that can be considered with a triangulated structure. Stable module categories are found naturally in representation theory, and to a certain degree algebraic topology. Derived categories appear most often in homological algebra itself but is also widely used in algebraic geometry.

In this thesis we will build up the notion of triangulated categories, starting with basic category theory. We will build on the notion of a category by giving different restrictions and requirements revealing different categorical structures, before defining triangulated categories. Then we'll consider two different types of categories, the stable category of a Frobenius category and the derived category of an abelian category and prove that they both carries triangulated structures.