Adams spectral sequences and Toda brackets

Abstract

Beregning av stabile homotopigrupper for topologiske rom, da spesielt sfærer, har vært og fortsetter å være en av drivkreftene i algebraisk topologi. To verktøy som brukes til dette er Toda brackets[19] og Adams spektralfølger[1].

Som demonstrert av Miller[11] kan Adams spektralfølger konstrueres i enhver triangulert kategori T utstyrt med projektive og injektive klasser. Christensen og Frankland[6] beviser at differensialen d_r i en Adams spektralfølge kan uttrykkes som en (r+1)-foldig Toda bracket.

I denne oppgaven ønsker vi å samle og presentere noen av disse resultatene med ytterligere detaljer. Oppgaven består av fire deler. I den første delen diskuterer vi konstruksjonen og egenskapene til projektive og injektive klasser. Deretter går vi videre til Toda brackets, før vi vender tilbake til de projektive og injektive klassene og Adams spektralfølger i sammenheng med dem. I den siste delen bindes alle de foregående delene sammen, og vi viser hvordan Toda brackets og de generelle Adams spektralfølgene henger sammen.

The computation of stable homotopy groups of topological spaces, spheres in particular, has been and continues to be one of the driving forces of algebraic topology. Two tools used for this are Toda brackets[19] and Adams spectral sequences[1].

As demonstrated by Miller[11] the Adams spectral sequence can be constructed in any triangulated category T equipped with projective and injective classes. Christensen and Frankland[6] prove that the differential d_r in an Adams spectral sequence can be expressed as an (r+1)-fold Toda bracket.

In this thesis we aim to compile and present some of these results with additional details. The thesis has four parts. In the first part we discuss the construction and properties of projective and injective classes. We then move on to Toda brackets, before returning to the projective and injective classes and Adams spectral sequences with respect to them. In the last part, all the preceding parts come together, and we show how Toda brackets and the general Adams spectral sequences relate.