Ultraprodukter og anvendelser i kommutativ algebra

Abstract

Denne oppgaven gir en introduksjon til ultraprodukter, med sikte for å gjøre algebra med dem. Ultraproduktet, en konstruksjon fra modellteorien, er et slags gjennomsnitt av objektene det tar inn: Et ultraprodukt av ringer $(A_w)_{w \in W}$ tilfredsstiller nøyaktig de samme “enkle” egenskapene som “nesten alle” av $A_w$-ene har.

Etter en gjennomgang av, filtre, som vil beskrive hvordan man skal ta gjennomsnittet, definerer vi ultraprodukter, beviser Łoś’ teorem, og bygger teori for ultraprodukter av ringer. Vi viser noen rare resultater om algebraisk lukka kropper og at uendelige ringer ikke kan bli førsteordensaksiomatisert, og vi ser analyse fra et nytt perspektiv med ikkestandard analyse. Vi introudserer ultrahylsteret og bruker den til å vise noen resultater om uniforme begrensninger i teorien av polynomringer over kropper, og ser på kataprodukter, som skal prøve å løse det problemet om at ultraprodukter sjelden er noetherske. Til slutt drøfter vi temaer ikke diskutert i denne oppgaven, som for eksempel ultraprodukter av og i kategorier.

Denne oppgaven er tospråklig og skrevet på både norsk og engelsk. Den norske versjonen begynner på side 1, og den engelske på side 131.

This thesis gives an introduction to ultraproducts, with a view towards doing algebra with them. The ultraproduct, a construction from model theory, is a sort of average of the objects it takes in: An ultraproduct of rings $(A_w)_{w \in W}$ satisfies the same “simple” properties that “almost all” of the $A_w$-s have.

After taking a look at filters, which will describe how to take the average, we define ultraproducts, prove Łoś’ theorem, and build theory of ultraproducts of rings. We show some weird results algebraically closed fields and that infinite rings cannot be first-order axiomatized, and see analysis from a different perspective with nonstandard analysis. We introduce the ultra-hull and use it to prove some results on uniform bounds in the theory of polynomial rings over fields, and look at cataproducts, which are supposed to solve the problem of ultraproducts being rarely noetherian. At the end we discuss some topics we haven’t looked at in this thesis, like ultraproducts in and of categories and further nonstandard analysis, and refer to further reading for those interested.

This thesis is bilingual and written in both Norwegian and English. The English version begins on page 131, and the Norwegian version on page 1.