Picard's little theorem

Abstract

Denne oppgaven gir et bevis av Picard's lille teorem ved å bruke en modulær funksjon, analytisk fortsettelse og Liouville's teorem. Etter noen nødvendige forberedelser, starter vi konstruksjonen av den modulære funksjonen med en Riemann avbildning fra en modifisert vertikal stripe i det øvre halv-plan til enhetsdisken. Ved å bruke noen möbius transformasjoner og Schwartz refleksjonsprinsipp, får vi så en avbildning fra en mengde i det øvre halv-plan til det dobbelt punkterte komplekse plan. Inversen av dette er nesten alt vi trenger for å kunne bruke Liouville's teorem, bortsett fra at den ikke vil være kontinuerlig på grunn av refleksjonen av randen. Dette problemet er løst ved å repetere domenet av den konstruerte avbildningen ved å definere en modulær funksjon på en möbius gruppe. Så bruker vi analytisk fortsettelse på komposisjonen av en invers av den modulære funksjonen med en hel funksjon med to lakunære punkter for å få en hel funksjon ved monodromi teoremet som sender det komplekse planet til en region i det øvre halv-plan. Med én möbius transformasjon til som sender det øvre halv-plan til enhetsdisken, kan vi deretter endelig bruke Liouville's teorem for å konkludere at den hele funksjonen må være konstant, som dermed beviser Picard's lille teorem.

This thesis gives a proof of Picard's little theorem by using a modular function, analytic continuation and Liouville's theorem. After some necessary preparations, we start the construction of the modular function with a Riemann mapping from a modified vertical strip in the upper half-plane to the unit disk. Then by using some möbius transformations and Schwartz reflection principle, we get a mapping from a set in the upper half-plane to the twice punctured complex plane. The inverse of this mapping is almost everything we need to use Liouville's theorem, except that it won't be continuous because of the reflection of the borders. This is solved by repeating the domain of the constructed mapping by defining a modular function on a möbius group. Then by using analytic continuation on the composition of an inverse of the modular function with an entire function with two lacunary points, we get an entire function by the monodromy theorem, which maps the complex plane to a region contained in the upper half-plane. After using one more möbius transformation that maps the upper half-plane to the unit disk, we can then finally use Liouville's theorem to conclude that the entire function must be constant, hence proving Picard's little theorem.