Solving the Multi-Objective Stochastic Cattle Feeding Planning Problem using the L-shaped Method

Abstract

Valg av fôringsstrategi har en stor påvirkning på både melkeproduksjonen og det økonomiske resultatet til en melkegård. Det er imidlertid flere faktorer som kan gjøre det utfordrende å utvikle en god fôringsplan. Noen av disse utfordringene er knyttet til en stor variasjon i næringsbehovene til dyrene, begrenset tilgang på ingredienser, usikker kvalitet på ingrediensene, og en balanse mellom fôrkvalitet og kostnader. For å adressere disse utfordringene, presenterer vi i denne masteroppgaven et planleggingsproblem for fôring av melkekyr (Stochastic Cattle Feeding Planning Problem (SCFPP)). Formålet er å undersøke verdien av å bruke optimering til å utvikle en god fôringsplan. Problemet er formulert som et to-stegs stokastisk problem som inkluderer usikkerhet knyttet til innholdet i rundballer. Beslutningene i første steg bestemmer hvilke rundballer som skal brukes på hvilken dag i planleggingshorisonten. Disse beslutningene tas når det faktiske innholdet i rundballene er usikkert. Beslutningene i andre steg tas når usikkerheten er realisert og det faktiske innholdet i rundballene er kjent. Disse beslutningene bestemmer hvordan man kan kombinere surfor og kraftfor til fôrsammensetninger som tilfredsstiller de daglige kravene til melkekyrene. Problemet har som mål å minimere kostnadene og sørge for at kvaliteten på fôret holdes på et riktig og stabil nivå. Disse to objektivene kombineres ved hjelp av en vektet sum.

Et litteraturstudie er gjennomført for å få innsikt i eksisterende forskning på diettproblemer og relevant litteratur innen jordbruksindustrien. Gjennom dette litteraturstudiet identifiserer vi tre områder som tidligere forskning ikke dekker, og som vi tar sikte på å addressere i denne masteroppgaven. For det første, mens tidligere studier hovedsakelig har fokusert på kostnadsminimering, tar vår modell hensyn til både kostnad og fôrkvalitet, og utforsker balansen mellom disse to faktorene. For det andre inkluderer vår modell faktorer som begrenset fôrtilgang, usikkerhet knyttet til innholdet i rundballer, variasjoner i ernæringsmessige krav hos dyrene og aspekter knyttet til lagerstyring. Så langt vi vet, har disse faktorene ikke blitt kombinert tidligere. Til slutt, ved å formulere fôrplanleggingsproblemet som et to-stegs stokastisk problem, presenterer vi en ny tilnærming for å håndtere usikkerheten i problemet.

SCFPP er et komplekst problem og vi benytter derfor L-shaped metoden for å løse modellen mer effektivt. Denne metoden er utforsket i kombinasjon med ulike aksellerasjonsmetoder som for eksempel å legge til flere kutt for hver iterasjon, å dele løsningsmetoden inn i to steg, å generere Pareto-optimale kutt og å approksimere løsningen på masterproblemet. Resultater fra beregningsstudiet viser at den aksellererte L-shaped metoden lykkes i å forbedre effektiviteten til modellen, og klarer å oppnå et optimalitetsgap på 10% i tilfeller der Gurobi oppnår et gap på 100%.

Analyser for å undersøke verdien av å bruke SCFPP som et beslutningsverktøy innen fôring er også gjennomført. Resultater fra analysene viser at den stokastiske modellen, SCFPP, finner løsninger som både gir lavere kostnader og bedre kvalitet på fôret sammenliknet med en deterministisk modell. I tillegg viser resultatene at man oppnår en jevnere fordeling av begrensede ressurser ved å forlenge planleggingshorisonten. Videre viser analysene at prioriteringen av kostnad og kvalitet påvirker de optimale fôrsammensetningene, noe som demonstrerer verdien av et verktøy som lar beslutningstakeren prioritere mellom disse objektivene.

Denne masteroppgaven lykkes i å vise hvordan optimering kan være nyttig for melkebønder når en fôringsplan skal lages. Selv om videre utvikling er nødvendig for å kunne ta modellen i bruk i virkeligheten, mener vi at arbeidet er et godt utgangspunkt for fremtidig forskning.

Developing a cost-efficient feeding plan that maximizes milk production is an important aspect of dairy farming. However, the feeding planning process is complicated by factors such as limited ingredient availability, uncertain nutritional content in ingredients, changing nutritional requirements of the dairy herd, and the trade-off between high feed quality and low costs. To address these challenges, this thesis presents the Stochstic Cattle Feeding Planning Problem (SCFPP). The aim is to investigate the value of using mathematical optimization to support farmers when determining a feeding plan. The SCFPP is formulated as a two-stage stochastic problem, taking uncertainty related to the content of the silage bales into account. The first-stage decisions decide which silage bales to use every day during the planning horizon, and are made when the actual content of each silage bale is unknown. The second-stage decisions are taken on the day of usage when the actual content of the silage bale is known. These decisions decide the combination of silage and feed concentrate for the daily feed compositions and aim to create feed compositions that satisfy the daily requirements of the dairy herd. The problem aims to both minimize costs and ensure correct and stable quality in the feed compositions. These two objectives are combined using a weighted-sum.

A literature review is conducted to get a broader understanding of the existing literature on diet- and blending problems with similar problem structures, as well as existing literature within the agricultural industry. Through this literature review, we identify three gaps in the literature that we address in this thesis. Firstly, while previous studies primarily focus on minimizing costs, our thesis addresses the trade-off between cost and feed quality. Secondly, this thesis incorporates factors such as limited feed availability, uncertain quality of ingredients, changing feeding requirements, and inventory management to the feeding problem. By doing so, we combine operational and tactical aspects to a greater extent than what has been done in previous literature. Lastly, by formulating the feed planning problem as a two-stage stochastic problem and solving it using the L-shaped method, we provide a novel approach to addressing the uncertainty in the problem.

The preparatory project to this thesis revealed that the CFPP is computationally heavy to solve. As the SCFPP is a continuation of this model where uncertainty is included, the L-shaped method is proposed as a solution method to improve the efficiency of the model. The L-shaped method is further accelerated by using the multi-cut version, adding a Two-Phase approach, generating Pareto-optimal cuts, and approximating the master solution. The computational results reveal that this accelerated L-shaped method outperforms the standard Gurobi solver in most cases and is able to achieve a gap smaller than 10% for instances where the Gurobi solver achieves 100% optimality gap.

The computational results of the SCFPP also demonstrate how the model may be used as a valuable tool for decision-making. Investigating the value of planning with uncertainty reveals that the stochastic model finds solutions with lower costs and improved quality of the meals, compared to a deterministic approach. Furthermore, when resources are limited, planning for a longer horizon results in a more even distribution of the available ingredients. The computational results also illustrate that the prioritization of cost and quality has a considerable impact on the optimal feed compositions. This highlights the challenges associated with balancing the two objectives and demonstrates the value of a tool that allows the decision-maker to adjust the prioritization between them.

The SCFPP successfully demonstrates how mathematical optimization can be useful for farmers when determining feeding plans for dairy cattle. Although further research and development of the model is required to utilize it in a real-world scenario, it makes a valuable contribution to the existing literature within the field of farming optimization. We believe this work serves as an important starting point for future research in this area.