| dc.description.abstract | Som et av de første emnene studenter møter på universitetsnivå, introduserer linear algebra studentene for en verden av begreper, objekter og representasjoner. Imidlertid kan disse abstrakte begrepene og deres representasjoner være krevende å håndtere for nybegynnere. Egenteori, grenen av linear algebra som omhandler egenvektorer, egenverdier og egenrom, fremstår som en særlig nyttig gruppe begreper. Tross deres mangfoldige bruksområder, kan kompleksiteten disse begrepene innebærer være utfordrende for studenter i starten av læringsprosessen.
Som et antatt viktig ledd i læringsprosessen brukes øvinger (skriftlig hjemmearbeid) på universiteter over hele verden. I denne studien utforsker vi studenters skriftlige og muntlige resonnement i forbindelse med et sett oppgaver, hvor målet er å belyse deres forståelse av egenvektorer og egenverdier. Likevel kan begrepet forståelse fremstå som komplekst og muligens kontroversielt. Derfor tar vi i bruk Tall og Vinner’s idé om begrepsbilde (engelsk: concept image), som omfatter alle de kognitive strukturene et individ assosierer med et begrep. Videre benytter vi Sierpinskas tenkemåter (engelsk: modes of thinking) for å belyse nyansene i studentenes resonnement.
Denne studien startet da studentene først ble introdusert for begrepene egenvektorer og egenverdier, og strakte seg utover de påfølgende ukene. Studentenes øvinger ble samlet inn og deres skriftlige svar på to oppgaver, spesielt utformet for å belyse deres forståelse av egenvektorer og egenverdier, ble analysert. For å få dypere innsikt ble semistrukturerte, individuelle intervjuer utført med fem utvalgte studenter etter at de hadde levert øvingene.
Våre funn avdekker de mangfoldige begrepsbildene studenter kan inneha av egenvektorer og egenverdier. Disse omfatter en rekke egenskaper, inkludert deres strukturelle forbindelser til lineære transformasjoner, spenn og vektorrom, aritmetiske egenskaper som prosedyrer for å bestemme dem, samt deres geometriske og visuelle tolkninger, og romlige representasjoner. Likevel observerte vi at flere av studentens svar falt mellom Sierpinskas etablerte tenkemåter, noe som understreker en viss begrensning i anvendelsen av dette som et analytisk rammeverk. Disse erfaringene fikk oss til å utvide de opprinnelige tenkemåtene ved å inkludere våre egne, blandede kategorier.
Studien vår avdekket også potensielle utfordringer i studentenes læring av iii egenvektorer og egenverdier. Disse inkluderte aspekter som manglende begrep om forholdene mellom en matrise (eller lineær transformasjon), dens egenvektor(er) og tilhørende egenverdi(er), samt en forvirring rundt antall egenvektorer som kan knyttes til en gitt matrise eller egenverdi.
Avslutningsvis belyser studien vår sider ved studenters forståelse som ikke lot seg utforske i denne masteroppgaven, men som vi anser som lovende områder for fremtidig forskning. | |
| dc.description.abstract | As one of the first courses students encounter at the university level, linear algebra introduces students to a world of concepts, objects and representations. However, these abstract notions and their representations can be difficult for beginning learners to navigate. Eigentheory, the domain of linear algebra encompassing eigenvectors, eigenvalues, and eigenspaces, emerges as a particularly valuable group of concepts. Despite its diverse applications, the inherent conceptual complexity of eigentheory can present difficulties for students at the onset of their learning journey.
As an assumed cornerstone of the learning process, homework assignments are widely used in universities across the world. In this study, we explore students’ written and oral reasoning on a set of homework tasks, aiming to illuminate their understanding of eigenvectors and eigenvalues. However, the notion of understanding can be complex and even contentious. Thus, to capture and characterise their understanding, we draw upon Tall and Vinner’s notion of the concept image, encompassing the cognitive structures that individuals associate with a concept. Additionally, we make us of Sierpinska’s modes of thinking to capture the nuances of the students’ reasoning.
Our study was conducted at the time when eigenvectors and eigenvalues were first introduced to the students, extending into the subsequent weeks. The written homework of 170 students were collected and their answers to two tasks, specifically designed to illuminate their comprehension of eigenvectors and eigenvalues, were analysed. To gain deeper insights, semi-structured interviews were conducted with five chosen participants after they had submitted their homework assignments.
Our findings reveal the diverse concept images held by students concerning eigenvectors and eigenvalues. These encompass a range of attributes, including their structural relationships with linear transformations, span and vector spaces, the arithmetic properties of their computation, as well as their geometric and visual characteristics, and spatial representations. Interestingly, a remarkable majority of the students displayed proficiency in their engagement with multiple modes of thinking. However, our observation that several of the students’ answers fell in between the modes established by Sierpinska underscored a certain limitiation in our application of this as an analytical framework. These experiences prompted us to expand upon the original modes by introducing our own, mixed categories. However, our study also highlighted potential challenges in students learning of eigenvectors and eigenvalues. These obstacles encompassed aspects such as a lacking awareness of the relations between a matrix (or linear transformation), its eigenvector(s) and corresponding eigenvalue(s), as well as confusion surrounding the number of eigenvectors associated with a given matrix or eigenvalue.
In closing, our study highlights aspects of students’ comprehension that were left unexplored, which we consider compelling avenues for future research. | |
