Proof of the Equivalence of Weak Solutions of the Spatial and the Referential Formulations of Balance Laws

Abstract

Vi kan utlede en generell balanselov for alle ekstensive fysiske variabler ved å bruke prinsippet om at produksjonen av variabelen i et domene er balansert av fluksen av den samme variabelen over randen til domenet. Det er flere mulige valg for koordinatsystem når man utleder en balanselov, men de vanligste er Euler- og Lagrangekoordinater. Hvis man utleder masse-, impuls- og energibevarelse i Euler- og i Lagrangekoordinater vil det resultere i Eulerlikningene og Lagrangelikningene. Hovedmålet for denne masteroppgaven er å øke forståelsen om beviset av ekvivalensen mellom svake løsninger av balanselover i Euler- og Lagrangekoordinater. Disse likningene er kjent for å resultere i diskontinuerlige løsninger i løpet av endelig tid, selv for glatte initialbetingelser. Dermed jobber vi med svake løsninger og distribusjoner gjennom hele masteroppgaven.

Denne masteroppgaven består av to hovedbevis. Det første beviset er at en generell balanselov er bevart under et bi-Lipschitz variabelskift. Dette beviset består av tre hovedsteg. Vi starter med å vise at en generell balanselov kan reduseres til en feltlikning. Deretter viser vi at feltlikningen er bevart under et bi-Lipschitz variabelskifte. Til slutt viser vi at det er mulig å oppnå den opprinnelige formuleringen av balanseloven fra feltlikningen. Det andre hovedbeviset er ekvivalensen mellom de svake løsningene av de endimensjonale Euler- og Lagrangelikningene. Vi starter med å bruke teorien vist i det første beviset til å vise ekvivalensen når vi antar at løsningene er vakuumfrie. Deretter, viser vi at ekvivalensen fortsatt holder hvis vi tillater løsninger med vakuum. En viktig del av dette beviset er at vi må innføre en ny definisjon av svake løsninger i Lagrangekoordinater.

For an extensive physical variable we can formulate a general balance law based on the principle that the production of the physical variable inside a domain is balanced by the flux over the boundary of said domain. Furthermore, the balance law can be formulated for different coordinate systems. The most common choices for coordinates systems are Euler and Lagrange coordinates. The formulation of conservation of mass, momentum, and energy in Euler and Lagrange coordinates will result in the Euler and the Lagrange equations. The main objective of this master thesis is to increase the understanding about the proof of the equivalence between weak solutions of balance laws in Euler and Lagrange coordinates. These equations are known for admitting discontinuous solutions in finite time, even for smooth initial conditions. Thus, throughout the master thesis we work with weak solutions and distributions.

This master thesis consists of two main proofs. The first proof is that a general formulation of a balance law is preserved under a bi-Lipschitz change of coordinates. This proof consists of three main steps. First, we show that we can reduce a general balance law to a field equation. Next, we show that the field equation is preserved under a bi-Lipschitz change of coordinates. Lastly, we show that we can obtain the original formulation of the balance law from the field equation. The second main proof is the equivalence between the weak solutions of the one-dimensional Euler equations and the one-dimensional Lagrange equations. We start by assuming no vacuum, and use the theory proved in the first part of the thesis to show equivalence. Thereafter we show that the equivalence still holds for solutions with vacuum. As a part of this proof we have to strengthen the definition of a weak solution in Lagrange coordinates.