Multivariate Periodic Wavelets on the Pattern

Abstract

I denne masteren analyserer me bilete og oppdagar kantar ved hjelp av fleirdimensjonale periodiske wavelets og fleirskala-analyse, på engelsk multiresolusion analysis. Me presanterer kongruensklassa til det $d$-variate gitteret $\Lambda(\mathbf{M})$ som mønsteret $\mathcal{P}(\mathbf{M})$ av $\mathbf{M}$ for ei regulær heiltalsmatrise $\mathbf{M}$, som ikkje nødvendigvis er diagonal. Ved å fastsetja rekkjefølgja til mønsteret finn me ei genererande gruppe, $\mathcal{G}(\mathbf{M}^{\mathrm{T}})$ for $\mathbf{M}^{\mathrm{T}}$, og presenterer ein variant av den raske Fourier-transformasjonen på $\mathcal{P}(\mathbf{M})$. Vidare utforskar me dei potensielle bruksområda for eigenskapane til gitteret for å utføra ein rask wavlet-transformasjon. Her er inklusjonen av undermønsteret $\mathcal{P}(\mathbf{N}) \subseteq \mathcal{P}(\mathbf{M})$, med $\mathbf{M} = \mathbf{JN}$, for regulære heiltalsmatriser $\mathbf{J},\mathbf{N}$, avgjerande. Me viser at eit forskyvingsinvariant rom med omsyn til $\mathbf{M}$ kan underleggjast ei orthogonal dekomposisjon og verta dekomponert i $\lvert \det \mathbf{J} \rvert$ rom. I denne oppgåva fokuserast det på tilfellet kor $\lvert \det \mathbf{J} \rvert = 2$, det vil seie $V_{\mathbf{M}}^\varphi = \mathrm{span} \{T(\mathbf{y})\varphi : \mathbf{y} \in \mathcal{P}(\mathbf{M}), \varphi \in L^2(\mathbb T^d)\} = V_{\mathbf{N}}^\xi \oplus W_{\mathbf{N}}^\psi$, der $T(\mathbf{y})\varphi$ er forskyvingsfunksjonen. Avslutningsvis vert det gjeve døme som understrekar dei teoretiske funna ved å implementera wavelet-transformasjonen i programmeringsspråket Julia når den ortonormale Dirichlet-kjerna vert brukt til å generera $V^\varphi_\mathbf{M}$.

-

In this thesis we analyze images and detect edges using multivariate periodic wavelets and multiresolution analysis. We present the congruence class of the $d$-variate lattice $\Lambda(\mathbf{M})$ as the pattern $\mathcal{P}(\mathbf{M})$ of $\mathbf{M}$ for a regular integer matrix $\mathbf{M}$, which not necessarily is diagonal. By fixing the ordering of the pattern we find a generating group, $\mathcal{G}(\mathbf{M}^{\mathrm{T}})$ of $\mathbf{M}^{\mathrm{T}}$, and derive a variant of the fast Fourier transform on $\mathcal{P}(\mathbf{M})$. Further, we explore the potential applications of these lattice properties in performing a fast wavelet decomposition. Here, the inclusion of the subpattern $\mathcal{P}(\mathbf{N}) \subseteq \mathcal{P}(\mathbf{M})$, with $\mathbf{M} = \mathbf{JN}$, for regular integer matrices $\mathbf{J},\mathbf{N}$, is crucial. We show that a shift invariant space with respect to $\mathbf{M}$ can be subjected to an orthogonal decomposition and decomposed into $\lvert \det \mathbf{J} \rvert$ spaces. The focus is on the case when $\lvert \det \mathbf{J} \rvert = 2$, that is $V_{\mathbf{M}}^\varphi = \mathrm{span} \{T(\mathbf{y})\varphi : \mathbf{y} \in \mathcal{P}(\mathbf{M}), \varphi \in L^2(\mathbb T^d)\} = V_{\mathbf{N}}^\xi \oplus W_{\mathbf{N}}^\psi$, where $T(\mathbf{y})\varphi$ is the translation function. Additionally, the choice of $\mathbf{J}$ is discussed in the context of characterizing the direction of the decomposition, and fulfilling the inclusion property in the case where $d=2$. Lastly, we provide instances that emphasize the theoretical findings by implementing the wavelet transform in the programming language Julia and when the orthonormal Dirichlet kernel is used to generate $V^\varphi_\mathbf{M}$.