Fra figurmønster til funksjoner

Abstract

Denne masteroppgaven er skrevet i studieåret 2022/2023, og er knyttet til matematikkfaget ved grunnskolelærerutdanningen 5-10, ved NTNU i Trondheim. Formålet med studien er å undersøke hvilke generaliseringsstrategier elever benytter seg av i arbeid med figurmønster, hvilke nivåer av samvariasjonell tilnærming til funksjoner elevene har, samt undersøke sammenhengen mellom strategiene og nivåene. En samvariasjonell tilnærming til funksjoner handler om hvordan endringer i en variabel påvirker en annen variabel.

Det er mangel på litteratur som knytter generalisering av figurmønster opp mot funksjoner og skissering av grafer. Denne studien gir derfor et bidrag til litteraturen innenfor dette området. Dette, sammen med egen interesse og erfaringer rundt figurmønster, motiverte meg for å skrive denne masteroppgaven.

Forskningsspørsmålene for studien er: 1. Hvilke generaliseringsstrategier bruker elever på 10. trinn i arbeid med figurmønster? 2. Hvilke nivå av samvariasjonell tilnærming til funksjoner viser elevene når de beskriver grafene de har skissert av figurmønstrene de har generalisert? 3. Hvilken sammenheng er det mellom elevenes samvariasjonelle tilnærminger til funksjoner og deres generaliseringsstrategier?

Studien er en kvalitativ studie. Datainnsamlingen er gjort gjennom fem oppgavebaserte intervju, innsamling av elevers skriftlige arbeid med oppgavene og egne feltnotater gjort under intervjuene. Elevene arbeidet i grupper med to oppgaver i én time. Det var en figurmønsteroppgave med lineær vekst, og en med kvadratisk vekst. Datamaterialet er analysert ved å bruke et rammeverk for generaliseringsstrategier utviklet av Lannin (2005) og et rammeverk for elevers nivå i beskrivelser av samvariasjonell tilnærming til funksjoner utviklet av Carlson et al. (2002).

Resultatene viser at elevene bruker en kombinasjon av ulike strategier for å komme frem til generelle formler. Elevene evner i stor grad å finne en generell formel for figurmønstrene. Det var flere elever som fant en generell formel til det lineære figurmønsteret enn til det kvadratiske figurmønsteret. Videre viser resultatene at elevenes beskrivelser av samvariasjonell tilnærming til funksjoner varierer i de to oppgavene. Elevene gav bedre beskrivelser av den lineære grafen enn den kvadratiske grafen. Elevene evnet i stor grad å koble utviklingen av ulike figurmønstre opp mot et koordinatsystem, hvor det ble funnet en korrelasjon mellom gruppene som hadde skissert en riktig graf og gruppene som hadde et høyt nivå av samvariasjonell tilnærming til funksjoner.

Funnene i studien indikerer likevel at elevene hadde utfordringer med å oppdage sammenhengen mellom et generelt uttrykk og grafen til dette uttrykket. Spesielt gjaldt dette det kvadratiske uttrykket. Ingen av elevene begrunner grafenes vekst med komponentene i det generelle uttrykket.

Mine funn og tidligere forskning viser muligheten figurmønster har for å utvikle forståelse for generalisering og en samvariasjonell tilnærming til funksjoner. Denne koblingen kan gi et ekstra bidrag til den tradisjonelle undervisningen med algebra og funksjoner hver for seg.

This master’s thesis is written during the academic year 2022/2023 and is related to the subject of mathematics at the department of teacher education at NTNU in Trondheim. The purpose of the study is to examine which generalization strategies students use when working with figure patterns, which levels of covariational approach to functions the students have, as well as to examine the connection between the strategies and levels. A covariational approach to functions is about how values of variables change in relation to each other.

There is a lack of literature linking generalization of figure patterns to functions and constructing graphs. Therefore, this study contributes to the literature at this area. This, together with own interest and experiences around figure patterns, is the motivation behind this thesis.

The research questions of the study are the following: 1. What generalization strategies do the 10th grade students use when working with figure pattern? 2. What level of covariational approach to functions do the student show when they are asked to describe the graphs they have constructed of the figure patterns they have generalized? 3. What connection is there between the students’ covariational approached to functions and their generalization strategies?

This study is a qualitative study. The data collection has been done through five task-based interviews, collection of students’ written work with the assignments and field notes made during the interviews. The students worked together in groups with two tasks for one hour. There was a figure pattern task with linear growth and one with quadratic growth. The data has been analyzed using a framework for generalization strategies developed by Lannin (2005) and a framework for students’ level in descriptions of a covariational approach to functions developed by Carlson et al. (2002).

The results show that the students use a combination of different strategies to construct an equation. They are mostly able to find a general equation for the figure patterns. There were more students who found a general equation for the linear figure pattern than for the square figure pattern. Furthermore, the results show that the students’ descriptions of the covariational approach to functions vary in the two tasks. The students gave better descriptions of the linear graph than the quadratic graph. The students were mostly able to connect the development of different figure patterns to a coordinate system, where a correlation was found between the groups that had drawn a correct graph and the groups that had a high level of co-variational approach to functions.

Nevertheless, the findings in the study indicate that the students had challenges in discovering the connection between a general expression and the graph of this expression. In particular, this applied to the quadratic expression. None of the students where able to explain the graph’s growth with the components of the general expression.

The findings, together with previous research, show the possibility figure patterns have for developing an understanding of generalization and a covariational approach to functions. This link can make an additional contribution to the traditional teaching of algebra and functions separately.