Tree Modules for Quiver Representations

Abstract

Gitt et kogger $\Gamma$ over $k$ av Dynkin $D_n$ type, vil antallet måter å uttrykke tremoduler med 0-1-matriser - eller koeffisientkogger (CQer) - studeres. Etter en introduksjon av teorien, vet vi at gitt et kogger av endelig representasjonstype, Dynkintypene, vil de indekomponerbare representasjonene av koggeret alltid være tremoduler. Metoden som brukes er å tegne de forskjellige mulige (opp til isomorfi) koeffisientkoggerne som er trær, jobbe bakover for å lage representasjonen som tilhører under standardbasisen, for så å sjekke om den er indekomponerbar. Flere reduksjoner gjøres til antallet tilfeller vi må gå gjennom: fra Auslander-Reiten-koggeret (AR-koggeret) finner vi ut at der bare er én dimensjonsvektor av interesse for hver $D_n$; dualet av representasjoner vi allerede har tatt for oss bevises unødvendige å studere; og symmetrien av "armene" til $D_n$-grafen tas høyde for. Det viser seg at når vi har en representasjon over $D_n$ der $n>4$, vil det som bestemmer hvor mange CQer som produserer tremoduler være hvorvidt orienteringene til armene er like. Et hovedresultat for $n>5$ er at CQene vi ser etter er de vi ser for $D_5$ med $n-5$ tillagte identiteter.

Given a quiver $\Gamma$ over $k$ of Dynkin $D_n$ type, the amount of different expressions of tree modules with 0-1-matrices - or coefficient quivers (CQs) - is studied. After introducing the theory, we know that given quivers of finite representation type, the Dynkin types, the indecomposable representations of said quiver will always be tree modules. The method used is to draw the different possible (up to isomorphism) coefficient quivers that are trees, work back to make the representation belonging to it with the standard basis, and then check its indecomposability. Several reductions are made to the amount of cases we need to go through: from the Auslander-Reiten-quiver (AR-quiver) we learn that there is only one dimension vector of interest for each $D_n$; the duals of representations already dealt with are proven unnecessary to study; and the symmetry of the "arms" of the $D_n$ graph is considered. It is found that given a representation over $D_n$ when $n>4$, what determines the amount of different CQs that produce tree modules is whether the arms have the same orientation or not. As a main result for $n>5$, the CQs we are looking for will just be those for $D_5$ with $n-5$ added identities.