Solution of the non-viscous Hamilton-Jacobi equation via vanishing viscosity

Abstract

Hovedmålet med denne oppgaven er å løse initialverdiproblemet for Hamilton-Jacobi(HJ) ligningen via forsvinnende viskositet, der Hamiltonen er H(Du) = |Du|^2. Vi antar at vår initialbetingelse er $g\in W^{2,\infty}(\R^n)$. Først så finner vi en eksplisitt glatt og begrenset løsning av den viskøse HJ ligningen via Cole-Hopf transformen. Så viser vi at familien av løsninger av den viskøse HJ ligningen er uniformt begrenset of uniformt ekvikontinuerlig. Ved å anvende Arzela-Ascoli setningen, kan vi definere en kontinuerlig grense funskjon. Denne grensefunksjonen er begrenset, Lipschitz og en viskositetsløsning av den ikke-viskøse HJ ligningen. Til slutt, viser vi at denne løsningen er semikonkav i rom for positiv tid. Dette resultatet er kun vist i ett romlig dimensjon og har ikke blitt utvidet til $n$ romlige dimensjoner.

The main goal of this thesis is to solve the initial value problem for the Hamilton Jacobi(HJ) equation via the method of vanishing viscosity, where the Hamiltonian is H(Du) = |Du|2. We assume that our initial condition is g ∈ W2,∞(Rn). First we acquire an explicit smooth and bounded solution of the viscous HJ equation via the Cole-Hopf transform. Then we show that the family of solutions of the viscous HJ equation is uniformly bounded and uniformly equicontinuous. Using the Arzela-Ascoli theorem, we define a continuous limit function. This limit function is a bounded and Lipschitz viscosity solution of the nonviscous HJ equation. Finally, we show that this solution is semiconcave in space for positive times. This result is shown for the one dimensional case and has not been extended to n dimensions.