Representation Schemes for Finitely Generated Groups

Abstract

Repræsentationsrummet for en endeligt genereret gruppe over et legeme k kan ses som et punkt på et affint k-skema. Der er en kategorisk ækvivalens mellem affine k-skemaer og kommutative k-algebraer, hvilket vil sige, at koordinat-k-algebraen for et repræsentationsskema karakteriserer k-skemaet fuldstændigt. Koordinat-k-algebraen for et skema og koordinatringen af den underliggende sort er relateret via nilradikal reduktion. Vi definerer modulskemaet gennem en geometrisk invariant teori kvotient og viser, at ringen af invarianter er endeligt genereret af spor og determinanter. Derudover parametriserer modulrummet ækvivalente semi-simple repræsentationer. Tangentrummet for et skema kan realiseres som et 1-cocyklusrum, og repræsentationsrummet kan reduceres fuldstændigt, hvis den første cohomologi forsvinder overalt.

The representation space of a finitely generated group over a field k can be viewed as a point of an affine k-scheme. There is a categorical equivalence between affine k-schemes and commutative k-algebras, thus the coordinate k-algebra of a representation scheme characterises the k-scheme completely. The coordinate k-algebra of a scheme and the coordinate ring of the underlying variety are related via nilradical reduction. We define the moduli scheme through a geometric invariant theory quotient and show that the ring of invariants is finitely generated by traces and determinants. In addition, the moduli space parameterises equivalent semi-simple representations. The tangent space of an affine scheme can be realised as a 1-cocycle space and the representation space is completely reducible when the first cohomology vanishes everywhere.