Convergence of Many Particle Approximations of Lighthill-Whitham-Richards Models with Total Variation Blow-Up

Abstract

I denne prosjektrapporten studeres konvergens av Følg-Lederen (FL) modellen av første orden mot løsningen av Lighthill-Witham-Richards (LWR) modellen. Jeg studerer to generaliseringer av LWR modellen der løsningen har diskontinuerlige hopp i den totale variasjonen, og deres korresponderende FL modeller. I den første modellen har hastighetsfunksjonen en diskontinuerlig romlig avhengighet. I den andre er trafikkfluksen begrenset i et punkt. Det etableres et nytt variasjonsestimat på den numeriske fluksen i FL modellen, som brukes til å bevise at FL approksimasjonen er kompakt i $L^p_{\text{loc}}$ for $1 \leq p < \infty$. Argumentet krever at fluksen er genuint ikke-lineær. Videre etableres det at grensene tilfredstiller entropiulikheter av Kružkov-typen. I den første modellen etableres unikhet av grensen når den romlig avhengigheten er en stegfunksjon. I den andre modellen etableres unikhet for stykkvis kontinuerlige fluksbegrensninger.

The final report contains proofs which establish that the Follow-the-Leader (FtL) model converges towards the weak entropy solution the Lighthill-Witham-Richards (LWR) model. I am considering two generalisations of the LWR model where the total variation of the solution can blow-up immediately. The first model has a discontinuous space dependency in the velocity function. The second model has a unilateral local point constraint on the flux. A novel variation estimate on the numerical flux is established, which is used to prove compactness of the method in $L^p_{\text{loc}}$ for $1 \leq p < \infty$. The argument requires a non-linearity condition on the flux. It is proven that the limits satisfy Kružkov-type entropy inequalities. For the first model, uniqueness of the limit is proven when the space dependency is piecewise constant. For the second model, uniqueness is proven for piecewise continuous flux constraints.