Composition Methods for Stochastic Differential Equations

Abstract

I denne masteroppgaven undersøker vi splitte- og komposisjonsmetoder for å løse semi-lineære SDEer med additiv støy, hvor driftleddet tilfredsstiller en global ensidig Lipschitzbetingelse, er tillatt polynomisk vekst og tilfredsstiller en form for dissipativitetsbetingelse. Vi viser at disse metodene er middelkvadratisk konvergente av orden p=1, og at de kan bevare viktige strukturelle egenskaper ved SDEen, som geometrisk ergodisitet og hypoelliptisitet. Det later til at komposisjonsmetodene ikke kan bevare oscillerende dynamikk i sin helhet, mens splittemetodene kan. Vi demonstrerer disse resultatene ved å anvende metodene våre på et kubisk modellproblem og den stokastiske FitzHugh-Nagumo (FHN) modellen, og vi sammenligner splitte- og komposisjonsmetodene våre med den drift-implisitte Euler-Maruyama metoden.

In this Master’s thesis, we investigate splitting- and composition methods for solving semi-linear SDEs with additive noise, where the drift satisfies a global one-sided Lipschitz condition, is allowed to grow polynomially at infinity and satisfies a kind of dissipativity condition. We prove that these methods are mean-square convergent of order p=1 and that they can preserve important structural properties of the SDE, such as geometric ergodicity and hypoellipticity. It appears that the composition methods cannot preserve oscillatory dynamics in their entirety, while the splitting methods can. We demonstrate these results by applying our methods to a cubic model problem and the stochastic FitzHugh-Nagumo (FHN) model, and compare our splitting- and composition methods with the drift-implicit Euler-Maruyama method.