Numerical integration in inverse problems for ordinary differential equations

Abstract

Dersom ein kjenner punkter av løysinga til ei ordinær differensiallikning (ODE), handlar det inverse problemet om å finne ein approksimasjon av vektorfeltet. Ei forskingsretning som nyleg har vorte særs aktiv, dreier seg om å nytte nevrale nettverk til å løyse inverse ODE problem på Hamiltonsk form. Trass dette, er det få som har gjort systematiske undersøkingar i kva numeriske integrasjonsmetodar som kan verte nytta i slike problem.

Denne tesa forsøker først å gi ein karakteristikk av nyttige eigenskapar ved numeriske integrasjonsmetodar i løysinga av inverse ODE problem. Først er generelle ODEar undersøkt, dernest ser vi på Hamiltonske system spesifikt. Mono-implisitte Runge-Kutta (MIRK) metodar viser seg å vere ei klasse integrasjonsmetodar som er eksplisitte for inverse problem. Her blir ei klasse symmetriske Runge-Kutta metodar utleia frå den adjungerte av MIRK metodar. Vidare, gjennom å nytte metodar som er invers eksplisitte, blir ein ny integrasjonsmetode, skreddarsydd for inverse problem med støy, introdusert. Det er mogleg å bevise at denne inverse integrasjonsmetoden er mindre sensitiv for støy i dataet og dette blir bekrefta i numeriske eksperiment utført på ulike kaotiske dynamiske system.

Inverse problems for ordinary differential equations (ODEs) aim at approximating the vector field given a set of points that are assumed to solve the ODE. Recently, research on using neural networks to solve inverse ODE problems on Hamiltonian form has gained traction. However, there has been little effort to systematically explore the space of different numerical integrators that could be used to solve this type of problems.

This thesis aims first at characterizing properties of numerical integrators that are beneficial when solving inverse ODE problems in general and problems on Hamiltonian form specifically. Mono-implicit Runge-Kutta (MIRK) methods are shown to be a class of integrators that are explicit for inverse problems. Here, we show how symmetric Runge-Kutta methods could be constructed by taking the mean of a MIRK method and its adjoint. Secondly, taking advantage of the inverse explicit property, a novel integration method called the mean inverse integrator, tailored for solving inverse problems with noisy data, is introduced. This method is proved to be less sensitive to noise in the data and this is verified in numerical experiments on multiple chaotic dynamical systems.