A Conditional Bound for the Riemann zeta-function in the Critical Line
Master thesis
Permanent lenke
https://hdl.handle.net/11250/3020490Utgivelsesdato
2022Metadata
Vis full innførselSamlinger
Sammendrag
Denne oppgaven bestemmer eksplisitte konstanter for den øvre begrensningen av logaritmen til Riemann zeta-funksjonen på den kritiske linja, under antakelsen av Riemann-hypotesen. Dette krever to betraktninger. Vi finner først en øvre begrensning for logaritmen til Riemann zeta-funksjonen når vi er nær den kritiske linja. Dette gjør vi ved å følge seksjon 13.2 «Estimates for the zeta function» i “Multiplicative Number Theory I. Classical Theory” av Montgomery og Vaughan (2006). Deretter benytter vi oss av et resultat fra Carneiro, Chirre og Milinovich (2019) som gir en nedre begrensning for den logaritmiske deriverte av Riemann zeta-funksjonen. Vi integrerer denne over et intervall med lengde som går mot null. Vi optimaliserer argumentet ved å avgjøre hvilken lengde på intervallet som gir det beste resultatet. This paper presents explicit constants for the upper bound for the logarithm of the Riemann zeta-function in the critical line, while assuming the Riemann hypothesis. This requires two considerations. First, we need an upper bound for the logarithm of the Riemann zeta-function when we are close to the critical line. We follow section 13.2 “Estimates for the zeta function” in “Multiplicative Number Theory I. Classical Theory” by Montgomery and Vaughan (2006) to obtain this. Second, we must implement a lower bound for the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function, which is given in a result by Carneiro, Chirre and Milinovich (2019). We integrate this bound over an interval with length approaching zero. We optimize the argument by determining what interval length gives the best result.