| dc.description.abstract | I denne oppgaven betraktes en klasse med implisitte Runge–Kutta-metoder (RK-metoder) som kalles Hamiltonian Boundary Value Methods (HBVMs). Disse metodene er spesielt godt egnet til å løse kanoniske Hamiltonske systemer; med riktig valg av parametre bevarer de polynomiske Hamiltoner nøyaktig, mens de kan gjøres energibevarende for generelle Hamiltoner ned til maskinpresisjon for en vilkårlig skrittlengde. De er basert på en utvidet kollokasjonsbetingelse og kan lages med mange forskjellige kvadraturbasiser; her betraktes først og fremst Gauß–Legendre og Lobatto. Etter å ha presentert relevant bakgrunnsteori, demonstreres det at enhver Gauß–HBVM med s grunntrinn og k trinn totalt har deterministisk orden 2s og Hamiltonsk feilkonvergens av orden 2k. For Lobatto-HBVMs gjelder det samme resultatet med et ekstra trinn.
Hovedmålet har vært å tilpasse HBVMs til å kunne brukes på stokastiske differensiallikninger (SDEer). Etter å ha snevret oppgaven oppgaven inn til stokastiske Hamiltonske systemer (SHSer) som lar seg skrives med kun én integrand, blir det vist at HBVM(k,s) har sterk konvergensorden s og Hamiltonsk feilkonvergens i svak forstand av orden k. For polynomiske stokastiske Hamiltoner av grad ν vil metoden være fullstendig energibevarende hvis metodens parametre oppfyller bevaringsbetingelsen 2k ≥ νs.
Flere numeriske eksperimenter for både deterministiske og stokastiske Hamiltonske systemer ble gjennomført for å underbygge de teoretiske resultatene: en endimensjonal kvadratisk harmonisk oscillator (kalt Kubo-oscillator for stokastisk variant), det kubiske Hénon–Heiles-problemet, en sjettegrads polynomisk Hamilton, samt det ikke-polynomiske Kepler-problemet i to dimensjoner. Mens den observerte sterke feilkonvergensen passer svært godt overens med den teoretiske ordenen, ga ikke-bevarende valg av k > s noe lavere enn teoretisk svak feilkonvergens for Hamiltonen. Likevel er Hamiltonen nøyaktig bevart for k valgt konservativ.
Et kapittel er også viet til implementasjonen av en IRK-løser for SDEer i Python, der løsere basert på det tradisjonelle økosystemet for vitenskapelige beregninger i form av pakkene numpy og scipy sammenlignes med det relativt nye biblioteket jax; det siste viser seg å være mye raskere samtidig som det har en tilsvarende grad av nøyaktighet. | |
| dc.description.abstract | In this thesis, a class of implicit Runge–Kutta (IRK) methods known as Hamiltonian Boundary Value Methods (HBVMs) are considered. These methods are especially suited to solve canonical Hamiltonian systems; with the right choice of parameters, they preserve polynomial Hamiltonians exactly, while for general Hamiltonian systems, they can be made energy-preserving down to machine precision for arbitrary stepsizes. They are based on an extended collocation condition, and can be constructed with many different quadrature bases; here, HBVMs based on Gauß–Legendre or Lobatto are considered. After presenting the background theory on HBVMs, it is demonstrated that any HBVM with s fundamental stages and k total stages have deterministic order 2s and Hamiltonian error convergence of order 2k.
The main goal of the thesis is to adapt HBVMs to Stochastic Differential Equations (SDEs). Limiting the scope to Stochastic Hamiltonian Systems (SHSes) wich can be expressed in terms of a single integrand, it is shown that the HBVM(k,s) has strong or mean square (ms) order of accuracy s, while the Hamiltonian error convergence is of order k in the weak sense. For polynomial stochastic Hamiltonians of degree ν, if the parameters of the Gauß or Lobatto based HBVM satisfy the conservation condition 2k ≥ νs, the method is completely energy-preserving.
Several numerical experiments for both deterministic and single integrand Hamiltonian systems are offered to support the theory, namely the quadratic Harmonic Oscillator (called Kubo Oscillator for SDEs), the cubic Hénon–Heiles problem, a polynomial Hamiltonian of order six and the non-polynomial Kepler problem in two dimensions. While the strong error convergence neatly fits in with the theory, for non-conservative choices of the parameter k > s, the weak Hamiltonian convergence order is somewhat lower than expected. The methods with conservative choices of k does nevertheless preserve the Hamiltonian exactly.
A chapter is devoted to discussing implementation of an IRK solver for SDEs in Python, comparing solvers based on traditional scientific computing ecosystem offered through the numpy and scipy packages with the relatively new jax; the latter turns out to be a lot faster while still offering similar degree of precision | |
