Matematiske definisjoner og representasjoner

Abstract

Matematiske definisjoner er definisjoner av matematiske begreper, som «partall» og «produkt», og mange tror at disse er skrevet i stein (Usiskin et al., 2008, s. 2). Sannheten er at det finnes mange forskjellige definisjoner som definerer det samme matematiske begrepet, disse kalles ekvivalente definisjoner (Leikin & Winicki-Landman, 2001, s. 64). De forskjellige ekvivalente definisjonene fremhever forskjellige egenskaper det matematiske begrepet har. Dermed vil valget av definisjon spille en viktig rolle når man skal lære seg et nytt matematisk begrep. Derfor er det viktig at lærere har kunnskap om matematiske definisjoner, slik at de kan gi elevene sine det beste utgangspunktet for å få en dyp forståelse for det matematiske begrepet. Allikevel viser forskning at lærere syns matematiske definisjoner er vanskelig (Stylianides & Stylianides, 2009; Miller, 2018). Derfor er det viktig å forske på hvordan lærere arbeider med matematiske definisjoner.

Representasjoner gjør matematikken mer tilgjengelig for elever (Schifter, 2009). Derfor introduserer Forbregd et al. (u.å.) begrepet representasjonsbaserte definisjoner, for å gjøre matematiske definisjoner mer tilgjengelige også. Når det er snakk om representasjoner, er det virkelighetsnære representasjoner som elevene kan relatere til, som er mest hensiktsmessig å bruke fra et didaktisk ståsted. Denne litteraturen belyser behovet for å forske på hvordan lærerne bruker representasjoner i sammenheng med de matematiske definisjonene.

Ettersom litteraturen på feltet belyste et behov for å forske på disse temaene, utarbeidet jeg denne problemstillingen: Hvordan arbeider lærere med matematiske definisjoner i klasserommet og hvordan bruker de representasjoner i definisjonsarbeidet? Hva er begrunnelsene bak lærernes valg?

Denne problemstillingen uttrykker tydelig behovet for å snakke med lærere. Dermed ble metoden jeg skulle bruke for å samle inn data til å svare på problemstillingen, intervju. Den siste delen av problemstillingen, der jeg legger vekt på begrunnelsene bak lærernes valg, gjorde at det var mest hensiktsmessig å gjøre kvalitative intervjuer. På denne måten fikk jeg detaljerte begrunnelser for lærernes valg.

Jeg brukte det teoretiske rammeverket til Forbregd et al. (u.å.) om matematiske definisjoner, samt supplerende teori om representasjoner, for å analysere datamaterialet. Jeg gjorde en tematisk analyse av tre kvalitative intervjuer med matematikklærere på barneskolen, som resulterte i tre funn. Funnene underbygger tidligere forskning og viser at lærerne trenger et større innblikk i matematiske definisjoner. De bruker virkelighetsnære representasjoner i arbeidet med definisjonene, men klarer ikke å utnytte det fulle læringspotensialet, ettersom de på mange måter har samme oppfatning som Usiskin et al. (2008) forklarer er vanlig, at matematiske definisjoner er skrevet i stein.

Mathematical definitions are defintions of mathematical concepts, such as “even number” and “product”, and many people believe that these are cast in stone (Usiskin et al., 2008, p. 2). However, the truth is that there are lots of different defintions that define the same mathematical concept, these are called equivalent definitions (Leikin & Winicki-Landman, 2001, p. 64). The different equivalent defintions highlight different aspects of the mathematical concept. Hence the choice of definition plays an important part of learning a new mathematical concept. Therefore, it is important for teachers to have knowledge about mathematical defintions, so that they can provide deep learning about the mathematical concept for their students. However, science shows that teachers think mathematical definitions are hard (Stylianides & Stylianides, 2009; Miller, 2018). Therefore, how teachers work on mathematical definitions, emerge as an important research focus.

Representations makes the mathematics more available for students (Schifter, 2009). Therefore, Forbregd et al. (u.å.) introduce the term representation-based definitions, to make mathematical definitions more available as well. When we talk about representations, Duval (2004) emphasizes that it is the real-world representations that are most appropriate from a didactic standpoint. Hence there is a need to research how teachers use representations in the context of mathematical definitions.

As these themes emerged as important research focuses, I made this research question: How does teachers work on mathematical definitions in their classrooms and how do they use representations in this work? What are the justifications behind their choices?

This research question expresses a need to talk to teachers. Hence, I decided to do interviews. The last part of the research question, which emphasizes the justifications behind their choices, made qualitative interviews most appropriate. In this way I got detailed justifications for the teachers’ choices.

I used the theoretical framework of Forbregd et al. (u.å.) about mathematical definitions, in addition to supplementary theory about representations, to analyze my data. I did a thematic analysis of three qualitative interviews with elementary school math teachers, which resulted in three findings. The findings substantiate earlier research and shows that the teachers need a greater insight in mathematical definitions. They use real-world representations in the work on mathematical definitions, but fail to exploit the full learning potential, as they in many ways have the same perception as Usiskin et al. (2008) explains as the usual, that mathematical definitions are cast in stone.