Et TDS-basert design av en undervisningssekvens med introduksjon til differensialregning

Abstract

I denne oppgaven har jeg brukt teorien for didaktiske situasjoner i matematikk (TDS) og forskningsmetodologien didaktisk ingeniørvirksomhet (DI) til å designe en undervisningssekvens som introduserer differensialregning. I en didaktisk situasjon opptrer målkunnskapen som en optimal løsning på et problem som blir gitt elevene. Undervisningsopplegget jeg har designa, baserer seg på målinger av ei kules tilbakelagte strekning på vei ned skråplanet. Problemet er å finne momentanhastigheten til kula ved et gitt tidspunkt. Den optimale løsninga, og dermed målkunnskapen i designet, er den deriverte av funksjonen som beskriver relasjonen mellom strekning og tid. Designet baserer seg på en diskret og trinnvis tilnærming til grenseverdier ved at en undersøker den gjennomsnittlige endringsraten på stadig kortere intervaller. Når en ønsker en best mulig beskrivelse av hastigheten i det ene øyeblikket, melder behovet seg for et grenseverdibegrep. Utforskning av grenseverdier, både grafisk og numerisk, står i sentrum av designet. GeoGebra brukes aktivt gjennom hele undervisningssekvensen. Designet bygger også på en forberedende analyse av målkunnskapen. I den epistemologiske analysen ser jeg nærmere på hva differensialregning består av, når og hvordan den ble oppdaga og utvikla, hva den kan brukes til og hvorfor den er inkludert i læreplanen på videregående skole. I forbindelse med differensialregningens historie har jeg valgt å vektlegge arbeidet til Galileo Galilei, sir Isaac Newton, Gottfried Wilhelm von Leibniz og Augustin-Louis Cauchy. I den didaktiske analysen gir jeg et kort historisk innblikk i differensialregningens plass i matematikkpensumet på videregående skole før jeg presenterer en alternativ modell for undervisning av temaet, en modell som har inspirert deler av designet mitt. Selve designet presenteres sammen med en a priori-analyse, som beskrevet i didaktisk ingeniørvirksomhet.

This assignment makes use of the theory of didactic situations (TDS) and the research methodology didactic engineering (DE) to design a teaching sequence that introduces differential calculus. In such a didactic situation, the mathematical knowledge acts as an ideal solution to a given problem. In this assignment the designed teaching sequence is based on data from a rolling ball on an inclined plane. The problem is to find the instantaneous velocity of the ball at a given time. The ideal solution to this problem, thus also the mathematical knowledge to be taught, is the derivative of the function describing the relation between displacement and time. The design is based on a discrete step by step approach to limits done by investigating the average rate of change on decreasing intervals. When you wish the best “estimate” of the instantaneous velocity you need the concept of limits. At the very core of this design is graphical and numeric exploration of limits. GeoGebra is frequently used during the whole session. Also, the design is built on a preliminary analysis of the mathematical knowledge. In the epistemological analysis I study differential calculus´s ingredients, origin and development, function and legitimacy in high school curriculum. The history part is centered around the work of the great mathematicians Galileo Galilei, Sir Isaac Newton, Gottfried Wilhelm von Leibniz, and Augustin-Louis Cauchy. In the didactic analysis I briefly present differential calculus´s entry into the curriculum in high school, and I present an alternative model for differential calculus teaching, which have inspired parts of my own design. The design is presented together with the a priori analysis, which is included and described by didactic engineering.