Algebraens fundamentalteorem

Abstract

Algebraens fundamentalteorem lyder som følgende:

Alle polynomer med komplekse koeffisienter har en kompleks rot.

I denne oppgaven skal vi se på et bevis for fundamentalteorem utledet av Harm Derksen. Beviset baserer seg på lineær algebra og går ut på å se på n x n-matriser som kommuterer og vise at de har en felles egenvektor. Gjennom å vise dette ønsker vi å bevise at det karakteristiske polynomet har en egenverdi, og dermed eksisterer det et nullpunkt.

Oppgaven er delt opp i fem seksjoner, hvor den første er introduksjonen. Den andre seksjonen gjengir regneregler vi har for matriser. I den tredje seksjonen blir preliminære resultater presentert. Disse resultatene er ikke direkte knyttet opp til beviset av algebraens fundamentalteorem, men vi kommer til å bruke de som støtte. Harm Derksen sitt bevis blir presentert i seksjon fire. Avslutningsvis så kommer det til å bli presentert to alternative bevis for fundamentalteorem, samt konsekvenser av det.

The fundamental theorem of algebra is as follows:

All polynomials with complex coefficients have a complex root.

In this thesis, we will look at a proof of the fundamental theorem derived by Harm Derksen. The proof is based on linear algebra and looks at n x n-matrices that commutate and show that they have a common eigenvector. By showing this, we want to prove that the characteristic polynomial has an eigenvalue, and thus a zero-point exists.

The thesis is divided into five sections, the first of which is the introduction. The second section reproduces the arithmetic rules we have for matrices. In the third section, preliminary results are presented. These results are not directly linked to the proof of algebra's fundamental theorem, but we will use them as support. Harm Derksen's proof is presented in section four. Finally, two alternative proofs of the fundamental theorem will be presented, as well as consequences.