The K-theory and Morita equivalence classes of noncommutative tori

Abstract

Når man studerer tidsfrekvensanalyse, møter man unitære translasjons- og modulasjonsoperatorer. Disse legger grunnlaget for en operatoralgebraisk tilnærming til emnet, og de studeres ofte gjennom ikke-kommutative tori, som er de universale C*-algebraene generert av slike operatorer. Ikke-kommutative tori dukker blant annet opp som dynamiske systemer i form av rotasjonsalgebraer, i gruppeteori som (komplette) vridde gruppealgebraer og til og med i teoretisk fysikk, hvor de dukker opp som en interessant arena for Yang-Mills-teori i ikke-kommutative rom.

Vi utvikler verktøy fra ideer i algebra og topologi, slik som Hilbert C*-moduler, som tar oss mot en operatoralgebraisk formulering av Morita-ekvivalens, og vi generaliserer topologisk K-teori til det ikke-kommutative tilfellet, hvilket gir sterke resultater, slik som klassifikasjonsresultatet for AF-algebraer. Høyere K-grupper og beregningsverktøy blir introdusert, slik som Bott-periodisitet, eksakte følger med seks ledd og Pimsner-Voiculescu-følgen for kryssede produkter. Vi forsøker å følge arbeidene til Rieffel og Pimsner-Voiculescu for å klassifisere isomorfi- og Morita-ekvivalensklasser av ikke-kommutative tori.

Målet med oppgaven er å gi et overblikk over noe av den vakre teorien og de nyttige teknikkene som oppstår når forskjellige felter i matematikken samarbeider. Dermed vil fokuset ligge på å utvikle teorien.

When studying time-frequency analysis, one encounters unitary translation and modulation operators of great importance. These make up a framework for an operator algebraic approach to time-frequency analysis and can be studied through noncommutative tori, the universal C*-algebras generated by two such operators. Noncommutative tori shows up as dynamical systems in terms of rotation algebras, in group theory as (completed) twisted group algebras, and even in theoretical physics, as interesting arenas for Yang-Mills theory on noncommutative spaces.

We develop tools originating from ideas in algebra and topology, such as Hilbert C*-modules, which take us towards the operator algebraic formulation of Morita equivalence, and we generalize topological K-theory to noncommutative scenarios and present powerful consequences, such as the classification theorem of AF-algebras. Higher K-groups and computational tools are introduced, such as Bott periodicity, the six-term exact sequence and the Pimsner-Voiculescu sequence for crossed products. We attempt to apply Morita equivalences and K-theory to noncommutative tori through the work of Rieffel and Pimsner-Voiculescu, which yields a classification of isomorphism and Morita equivalence classes of noncommutative tori.

The thesis aims to give an overview of some of the beautiful theory and fruitful techniques coming from the interaction between several branches of mathematics, and hence the focus will lie on developing the theory.