Projective spaces An extrension of affine spaces

Abstract

Affine rom er geometriske strukturer hvor vi kan snakke om at to linjer er parallelle. Parallelle linjer er definert til å ikke skjære hverandre i noen punkter. Men inspirert av visuelt perspektiv i den virkelige verden, hvor parallelle linjer ser ut til å møte hverandre i et punkt i horisonten, kommer ideen om et projektivt rom. I et projektivt rom legger vi til visse "punkter i uendeligheten", slik at parallelle linjer faktisk møtes i disse punktene. Dette introduserer et lite problem, ettersom vi nå har et rom som består av to forskjellige typer punkter, ”vanlige punkter”, og ”punkter i uendeligheten”. Dette er tungvint å jobbe med, så vi vil bruke en annen definisjon. I denne teksten vil vi i stedet definere et projektivt rom ved å se på mengden av 1-dimensjonale underrom til et vektorrom V, sammen med en form for struktur. Vi vil se at dette gjenspeiler beskrivelsen over av hvordan et rom med ”punkter i uendeligheten” skal se ut, men vil bare bestå av en type punkter.

Etter å ha definert hva projektive rom er og sett på et par eksempler, vil vi se på endelige projektive rom, polynomer i projektive rom, og funksjoner mellom projektive rom. Etter det vil vi se på "grassmannians", en slags generalisering av projektive rom. Til slutt vil vi se hvordan "grassmannians" kan realiseres som strukturerte delmengder av projektive rom, ved bruk av ”Plücker embedding”-en.

Affine spaces are geometric structures where there is a notion of parallel lines. Parallel lines by definition do not intersect each other in any point. However, inspired by visual perspective in the real world, where parallel lines seem to converge to a point on the horizon, comes the idea of a projective space. In a projective space, we add certain ”points at infinity”, such that parallel lines actually do meet in these points. This introduces a slight problem, as we now have a space containing two different types of points, ”regular points”, and ”points at infinity”. This is cumbersome to work with, so we want to use another definition. In this text we will instead define a projective space by looking at the set of 1-dimensional subspaces of a vector space V, together with some additional structure. We will see that this does indeed reflect the above description of what a space with ”points at infinity” should look like, while still just containing one type of points.

After defining what projective spaces are and looking at a couple of examples, we will take a look at finite projective spaces, polynomials in projective spaces, and maps between projective spaces. After that we will look at grassmannians, a sort of generalization of projective spaces. In the end, we will look at how grassmannians can be realized as structured subsets of projective spaces, through the use of the ”Plücker embedding”.