"X'er og Y'er er ikke mer algebra enn noter på et ark er musikk" En kvalitativ studie om elevers handlinger knyttet til algebraisk tenkning i arbeid med generalisert aritmetikk

Abstract

Gjennom denne studien har jeg undersøkt hvilke handlinger knyttet til algebraisk tenkning elever tar i bruk i arbeid med en oppgave innen generalisert aritmetikk. Valget av tema var basert på kunnskap om at algebra av mange blir oppfattet som et vanskelig matematisk emne, og at algebra tradisjonelt har blitt undervist med et abstrakt symbolfokus. Formålet med studien har vært å undersøke hvilke handlinger knyttet til algebraisk tenkning elever tar i bruk, forut for undervisning i symbolsk algebra. Studien baserer seg på kvalitative forskningsmetoder, der undersøkelsen ble gjennomført med to grupper av elever på 8.trinn. Elevene arbeidet med kvadrater i en kalender der formålet var å se etter mulige sammenhenger, strukturer og forhold mellom tall. Først undersøkte elevene kvadrater bestående av 2⋅ 2 ruter, deretter kvadrater med 3⋅3 ruter. I utgangspunktet jobbet elevene individuelt med sine kvadrater, men undersøkelsessituasjonen var lagt opp slik at de kunne snakke sammen, og dra veksler på hverandres oppdagelser. Elevene var oppfordret til å være muntlig aktive, for å få best mulig innblikk i hva de tenkte om egne handlinger. Det var ingen undervisning underveis. Min rolle var å observere elevenes arbeid med oppgavene, og som en deltakende observatør stilte jeg bevisstgjørende spørsmål for å føre undersøkelsessituasjonen framover. Datamaterialet besto av lydopptak fra undersøkelsene, samt elevenes notatark og kalenderutskrifter. Lydopptakene ble transkribert, og analysert gjennom en prosess inspirert av tematisk analyse. Funnene i datamaterialet kom som et resultat av åpen koding. Deretter kategoriserte jeg kodene i fire forhåndsdefinerte kategorier – fire praksiser innenfor algebraisk tenkning. De fire praksisene er basert på et rammeverk utviklet for å bygge opp et algebrapensum for undervisning på barnetrinn (Blanton et al., 2018). De fire praksisene innenfor algebraisk tenkning er generalisere, representere generalisering, begrunne generalisering og resonnere med generalisering. Funnene i denne studien tyder på at elever tar i bruk flere ulike handlinger innenfor algebraisk tenkning i arbeid med en oppgave som legger til rette for å undersøke strukturer, sammenhenger og forhold mellom tall. Elevene i denne studien identifiserte strukturer og egenskaper, som de representerte, begrunnet og som de resonnerte videre med. Det indikerer at elevene er i stand til å generalisere aritmetikk på en måte som det er hensiktsmessig å bygge videre på, for å skape en bedre forståelse i overgangen til arbeid med symbolsk algebra.

In this study I have investigated which actions related to algebraic thinking students use in their work with generalized arithmetic. The choice of topic was based on the knowledge that algebra is considered a difficult mathematical theme, and that it has traditionally been taught with an abstract symbolic focus. The purpose of the study has been to investigate which actions related to algebraic thinking students use, prior to teaching symbolic algebra. This study is based on qualitative research methods and was conducted with two groups of students in the 8th grade. The students worked with squares in a calendar, and the purpose was to look for possible structures and relationships between numbers. Initially, the students examined squares of 2⋅ 2 squares, then squares of 3⋅3 squares. The students worked individually with their squares, but the situation was arranged so that the students could interact, and alternate on each other's discoveries. The students were encouraged to be orally active, for me to get insight into the students’ thoughts about their work. There was no teaching during the session. My role was to observe the students' work with the tasks, and as a participating observer, I asked questions to guide the investigation situation forward. My data consisted of audio recordings from the sessions, as well as students' work sheets and calendar printouts. The audio recordings were transcribed and analyzed in a process inspired by thematic analysis. The findings in the data material were the result of open coding. Then I categorized the codes into four predefined categories - four practices in algebraic thinking. The four practices are based on a framework developed to build an early algebra curriculum (Blanton et.al, 2018). The four practices in algebraic thinking are generalizing, representing generalization, justifying generalization and reasoning with generalization. The findings in this study suggest that students use several different actions related to algebraic thinking in their work with a task that facilitates the investigation of structures and relationships between numbers. The students in this study identified structures and properties, which they represented, justified and reasoned with. This indicates that students are able to generalize arithmetic in a way that is appropriate to build upon, to create a better understanding for further work with symbolic algebra.